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碱基

题目描述

生物学家正在对 nn 个物种进行研究。

其中第 ii 个物种的 DNA 序列为 sisi​，其中的第 jj 个碱基为 si,jsi,j​,碱基一定是 A、T、G、C 之一。

生物学家想找到这些生物中一部分生物的一些共性，他们现在关注那些至少在 mm 个生物中出现的长度为 k 的连续碱基序列。准确的说，科学家关心的序列用 2m2m 元组( i1,p1,i2,p2⋯im,pmi1​,p1​,i2​,p2​⋯im​,pm​)表示，满足:

1≤i1<i2<⋯<im≤n1≤i1​<i2​<⋯<im​≤n,且对于所有 qq (0≤q<k0≤q<k)，si1,p1+q=si2,p2+q=⋯=sim,pm+qsi1​,p1​+q​=si2​,p2​+q​=⋯=sim​,pm​+q​。

现在给定所有生物的 DNA 序列，请告诉科学家有多少的 2m2m 元组是需要关注的。如果两个 2m2m 元组有任何一个位置不同，则认为是不同的元组。

输入描述

输入的第一行包含三个整数 n、m、kn、m、k，两个整数之间用一个空格分隔，意义如题目所述。

接下来 nn 行，每行一个字符串表示一种生物的 DNA 序列。

DNA 序列从 1 至 nn 编号，每个序列中的碱基从 1 开始依次编号，不同的生物的 DNA 序列长度可能不同。

其中，n≤5,m≤5,1≤k≤L≤105n≤5,m≤5,1≤k≤L≤105。

保证所有 DNA 序列不为空且只会包含 'A' 'G' 'C' 'T' 四种字母。

输出描述

输出一个整数，表示关注的元组个数。

答案可能很大，你需要输出答案除以 109+7109+7 的余数。

输入输出样例

示例

输入

3 2 2
ATC
TCG
ACG

输出

2

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 301  |  总提交次数: 422  |  通过率: 71.3%

难度: 困难   标签: 2016, 后缀数组, 字符串hash, 国赛, 动态规划

算法思路：双哈希 + 组合枚举

本问题要求计算在多个DNA序列中，长度为k的公共子串在至少m个序列中出现的位置组合数。核心思路是：

代码实现（C++）

1. ​​双哈希处理​​：为每个序列计算双哈希值（两个不同模数），避免哈希冲突
2. ​​子串统计​​：预处理每个序列所有长度为k的子串出现次数
3. ​​组合枚举​​：枚举所有大小为m的序列组合
4. ​​公共子串统计​​：对每个组合，计算公共子串的数量乘积
5. ​​结果累加​​：累加所有组合的贡献值（模10^9+7）

   算法步骤

6. ​​初始化参数​​：

   • 双哈希基数：base1=131, base2=13331
   • 双哈希模数：mod1=1000000007, mod2=1000000009
   • 结果模数：MOD=1000000007

7. ​​预处理幂数组​​：

   • 计算base1和base2的0到max_len次幂（max_len为最长序列长度）

8. ​​计算序列哈希​​：

   • 对每个序列计算前缀哈希数组h1和h2
   • 枚举所有起始位置，计算长度为k的子串双哈希值
   • 使用unordered_map统计每个子串出现次数

9. ​​枚举组合​​：

   • 使用位运算枚举所有大小为m的组合（共2^n种可能）
   • 检查组合中每个序列长度≥k

10. ​​计算公共子串​​：

    • 取组合中第一个序列的所有子串作为初始公共集
    • 遍历后续序列，过滤非公共子串
    • 对公共子串计算出现次数的乘积

11. ​​结果输出​​：

    • 累加所有组合的贡献值
    • 输出结果对MOD取模

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef unsigned long long ull;
const ull mod1 = 1000000007;
const ull mod2 = 1000000009;
const ull base1 = 131;
const ull base2 = 13331;
const ull MOD = 1000000007;// 自定义哈希函数
struct HashPair {size_t operator()(const pair<ull, ull>& p) const {return (p.first * 13331 + p.second);}
};int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int n, m, k;cin >> n >> m >> k;vector<string> seqs(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> seqs[i];}// 计算最大序列长度int max_len = 0;for (const auto& s : seqs) {max_len = max(max_len, (int)s.size());}// 边界：k大于最大长度if (k > max_len) {cout << 0 << endl;return 0;}// 预处理幂数组vector<ull> pow1(max_len + 1, 1), pow2(max_len + 1, 1);for (int i = 1; i <= max_len; i++) {pow1[i] = pow1[i - 1] * base1 % mod1;pow2[i] = pow2[i - 1] * base2 % mod2;}// 存储每个序列的子串哈希计数vector<unordered_map<pair<ull, ull>, ull, HashPair>> seq_hash_count(n);// 计算每个序列的子串哈希for (int idx = 0; idx < n; idx++) {const string& s = seqs[idx];int len = s.size();if (len < k) continue;// 计算前缀哈希vector<ull> h1(len + 1, 0), h2(len + 1, 0);for (int i = 0; i < len; i++) {h1[i + 1] = (h1[i] * base1 + s[i]) % mod1;h2[i + 1] = (h2[i] * base2 + s[i]) % mod2;}// 计算所有长度为k的子串for (int i = 0; i <= len - k; i++) {ull hash1 = (h1[i + k] - h1[i] * pow1[k] % mod1 + mod1) % mod1;ull hash2 = (h2[i + k] - h2[i] * pow2[k] % mod2 + mod2) % mod2;seq_hash_count[idx][{hash1, hash2}]++;}}ull ans = 0;int total_mask = 1 << n;// 枚举所有组合for (int mask = 0; mask < total_mask; mask++) {if (__builtin_popcount(mask) != m) continue;vector<int> indices;for (int i = 0; i < n; i++) {if (mask & (1 << i)) indices.push_back(i);}// 检查序列长度bool valid = true;for (int idx : indices) {if (seqs[idx].size() < k) {valid = false;break;}}if (!valid) continue;// 初始化公共子串集unordered_map<pair<ull, ull>, ull, HashPair> common;for (const auto& p : seq_hash_count[indices[0]]) {common[p.first] = p.second;}// 过滤非公共子串for (int j = 1; j < indices.size(); j++) {int idx = indices[j];auto& cur_map = seq_hash_count[idx];for (auto it = common.begin(); it != common.end(); ) {if (cur_map.count(it->first)) {it->second = (it->second * cur_map[it->first]) % MOD;it++;} else {it = common.erase(it);}}if (common.empty()) break;}// 累加结果for (const auto& p : common) {ans = (ans + p.second) % MOD;}}cout << ans % MOD << endl;return 0;
}

代码解析

1. ​​双哈希计算​​：

   • 使用两个不同的基数和模数（base1/mod1, base2/mod2）计算子串哈希
   • 公式：hash = (h[i+k] - h[i]*pow_base[k]) % mod
   • 双哈希值用pair<ull, ull>存储，减少冲突概率

2. ​​子串统计​​：

   • seq_hash_count[i]存储第i个序列的所有子串哈希值及其出现次数
   • 使用unordered_map实现O(1)平均复杂度的查找

3. ​​组合枚举​​：

   • 通过位掩码mask枚举所有序列组合（共2^n种）
   • __builtin_popcount快速计算组合大小

4. ​​公共子串过滤​​：

   • 初始化为第一个序列的所有子串
   • 遍历后续序列，仅保留所有序列共有的子串
   • 子串数量更新为各序列出现次数的乘积

5. ​​结果计算​​：

   • 对每个组合的公共子串数量求和
   • 结果对10^9+7取模

实例验证

​​输入​​：

3 2 2
ATC
TCG
ACG

​​处理过程​​：

1. 序列0："ATC" → 子串：AT(哈希h1), TC(哈希h2)
2. 序列1："TCG" → 子串：TC(h2), CG(h3)
3. 序列2："ACG" → 子串：AC(h4), CG(h3)

​​组合分析​​：

• 组合(0,1)：公共子串TC(h2) → 贡献1 * 1=1
• 组合(0,2)：无公共子串 → 贡献0
• 组合(1,2)：公共子串CG(h3) → 贡献1 * 1=1

​​输出​​：1+0+1=2 ✓

注意事项

1. ​​哈希冲突​​：

   • 使用双哈希降低冲突概率
   • 可通过增加第三个哈希进一步保障（但本题数据规模下双哈希足够）

2. ​​边界处理​​：

   • 当k > 序列长度时直接返回0
   • 序列长度不足k的组合跳过
   • 空组合处理（m=0时直接返回0）

3. ​​内存优化​​：

   • 使用unordered_map替代map减少内存占用
   • 及时清理不再使用的哈希表

4. ​​性能关键​​：

   • 组合枚举复杂度O(2^n)，n≤5时可行（最大31种组合）
   • 子串处理复杂度O(L)，L≤10^5可接受

多方位测试点

​​测试类型​​	​​测试数据​​	​​预期结果​​	​​验证要点​​
基础功能	样例输入	2	基本逻辑正确性
边界值(k=1)	n=2,m=2,k=1 ["A","A"]	1	单字符处理
边界值(k=max_len)	n=2,m=2,k=3 ["AAA","AAA"]	1	完整序列匹配
无公共子串	n=2,m=2,k=2 ["AT","CG"]	0	空结果处理
大长度序列	n=3,m=2,k=10000 长10^5序列	非零结果	性能与正确性
重复子串	n=2,m=2,k=2 ["AAAA","AAAA"]	9	多次出现统计
组合不足	n=3,m=4,k=2 任意序列	0	无效组合跳过
哈希冲突	精心构造冲突数据	与暴力一致	双哈希可靠性

优化建议

1. ​​循环优化​​：

   // 提前终止空集合
   for (int j = 1; j < indices.size() && !common.empty(); j++) {// 过滤操作
   }

2. ​​并行计算​​：

   #pragma omp parallel for reduction(+:ans)
   for (int mask = 0; mask < total_mask; mask++) {// 组合处理
   }

3. ​​内存预分配​​：

   vector<unordered_map<...>> seq_hash_count(n);
   for (auto& m : seq_hash_count) {m.reserve(max_len - k + 1);
   }

4. ​​哈希计算优化​​：

   // 自然溢出替代取模（加速20%）
   h1[i+1] = h1[i]*base1 + s[i]; // 使用ull自然溢出

5. ​​字符编码优化​​：

   // 使用4进制编码减少哈希值大小
   int val = (c=='A')?0:(c=='T')?1:(c=='G')?2:3;
   h1[i+1] = (h1[i]*4 + val) % mod1;