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通过代换变量，把复杂的积分形式转化为更容易计算的形式。

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✅ 本质上解决的问题：

当被积函数结构复杂或含有难处理的根式、三角函数、对数等时，通过人为设定新变量简化结构，从而使积分更容易计算。

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✅ 处理的问题类型：

常见于以下情况：

• 被积函数中含有复杂表达式（如根号、对数、三角等）
• 对变量替换后变成基本函数的积分

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*第一类换元积分法通过代换变量，把复杂结构简化为基本积分形式

✅ 举例说明：

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✅ 一、三角代换（用于处理根号）

例1：

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$$

代换：$x=a\sin \theta$，则 $dx=a\cos \theta d\theta$，

$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }=a\cos \theta$$

→ 变为 $\int a^2{\cos }^2\theta d\theta$，易积分。

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例2：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

代换：$x=a\tan \theta$，$dx=a{\sec }^2\theta d\theta$，

$$\sqrt{x^2+a^2}=a\sec \theta$$

→ 变为 $\int \frac{a{\sec }^2\theta }{a\sec \theta }d\theta =\int \sec \theta d\theta$

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✅ 二、代数代换（消除根号、化简分式）

例3：

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

代换：令 $x^2+1=t$，则 $2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt$

变成：

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{t}}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\int t^{-1/2}dt$$

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例4：

$$\int \frac{1}{x\ln x}dx$$

代换：令 $u=\ln x$，则 $dx=e^{u}du$，或 $du=\frac{1}{x}dx$

原式变为：

$$\int \frac{1}{x\ln x}dx=\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C=\ln |\ln x|+C$$

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✅ 三、幂函数配凑型

例5：

$$\int x^3\sqrt{x^2+1}dx$$

代换：设 $u=x^2+1$，则 $du=2xdx$

重写 $x^3=x\cdot x^2=x\cdot (u-1)$，
$dx=\frac{du}{2x}$

代入得：

$$\int x^3\sqrt{x^2+1}dx=\int x(u-1)\sqrt{u}\cdot \frac{du}{2x}=\frac{1}{2}\int (u-1)\sqrt{u}du$$

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✅ 四、消除复杂分母/分式

例6：

$$\int \frac{1}{(1+\sqrt{x}{)}^2}dx$$

代换：设 $u=\sqrt{x}$，则 $x=u^2$, $dx=2udu$

原式变为：

$$\int \frac{2u}{(1+u{)}^2}du$$

再拆成部分分式或其他简化方式即可。

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✅ 总结：常见第一类换元法代换类型

积分表达结构	常用代换	目的
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin \theta$	化成三角形式，便于积分
$\sqrt{x^2+a^2}$	$x=a\tan \theta$
$x^2+a^2$	$u=x^2+a^2$	消除平方表达式
$x\ln x$, $\ln x$	$u=\ln x$	转为基本函数
$\frac{1}{x^2+1}$	$x=\tan \theta$	常见于反三角函数
$\frac{1}{1-x^2}$	$x=\sin \theta$
根式中含 $\sqrt{x}$	$u=\sqrt{x}$	降低变量次数或消根号

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如需我为你按某一类型或目标做进一步归纳（如专门处理根号积分、分式积分等），我也可以继续补充。
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