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线性代数小述（三）

by Amamiya Fuko

此去经年返，安知胡不归？

前言

FU⭐️KO

首先需要对上一篇的线性组合的概念做一个更正，然后是考虑行列式相关的内容。

目录

1.线性组合
2.行列式
-行列式运算的定义
-拉普拉斯展开

线性组合

线性组合是对一个向量的分解。考虑一个二维空间，若某一向量与两个向量在同在该空间中，且这两个向量是线性无关的（不平行的），则必然有这个向量对于后两个向量的线性组合表示，如
$$A\check{v_1}+B\check{v_2}=\check{b}$$

行列式

行列式最开始只是种简便记法，如对于以下以下线性组合有
$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]\\ \\ D=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|,D_1=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|\\ \\ \left[\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{D}_1\\ D_2\end{array}\right]\\ \\ x_1=D_1{D}^{-1}，x_2=D_2{D}^{-1}\end{array}$$

行列式运算的定义

设$A_{i\times j}$为n阶方阵
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{ij}\end{array}\right]$$

$\det A=|A|=\sum (-1{)}^{\tau (i_1\cdots i_n)+\tau (j_1\cdots j_n)}{a}_{i_1{j}_1}\cdots a_{i_n{j}_n}$

其中$\tau (N)$为排列 N 的逆序数，如$\tau (132)=1$，$\tau (123)=0$

拉普拉斯展开

子式与余子式，设子式为A，余子式为M，则它们有下列关系

$$\left[\begin{array}{cccc}A& & & \\ & & & \\ & & M& \\ & & & \end{array}\right]$$
拉普拉斯展开有
$$\det A=\sum (-1{)}^{i+j}{A}_{ij}{M}_{ij}$$