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🌱 第一阶段：打好基础

1. 理解什么是动态规划

动态规划的本质是把一个复杂的问题分解为多个子问题，保存子问题的解以避免重复计算。

通俗地说，就是“记住你已经算过的东西，别重复做傻事”。

2. 掌握几个基本概念

• 状态定义（状态表示）：用变量表示某个子问题的情况，比如 dp[i] 表示前 i 个物品的最优解。

• 状态转移方程：用之前的状态推出当前的，比如：dp[i] = dp[i-1] + ...

• 初始条件（边界值）：比如 dp[0] = 0

• 最终答案的选择：可能是 dp[n]，也可能是 max(dp[i])

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🧠 第二阶段：理解并手写简单例题

推荐几个经典入门题：

1. 斐波那契数列（经典一维 DP）

   • 递归（慢） ➜ 记忆化搜索 ➜ DP数组 ➜ 滚动数组优化

2. 爬楼梯问题

   • dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

3. 0-1背包问题（二维 DP）

   • 状态定义：dp[i][j]表示前 i 个物品在容量 j 下的最大价值

   • 状态转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i])

4. 最长上升子序列 LIS

   • dp[i] = max(dp[j] + 1) if nums[i] > nums[j]

这些题都很适合在 C++ 中实现，训练你的数组使用和逻辑思维。

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🧰 第三阶段：刷题+总结套路

建议网站：

• Letcode

• NOI全国青少年信息学奥林匹克竞赛

• 牛客网

• 洛谷（适合算法竞赛风格）

分类刷题方向：

• 一维 DP：爬楼梯、打家劫舍

• 二维 DP：背包问题、棋盘路径

• 区间 DP：回文串、石子合并

• 状态压缩 DP：旅行商问题（TSP）

• 树形 DP：树上选点、树的直径

• 背包类型进一步细分：

  • 0-1 背包

  • 完全背包

  • 多重背包

  • 分组背包

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💡 技巧与建议

• 先暴力，再优化： 不要一上来就写动态规划，先写递归或回溯，跑不动了再思考“我是不是可以记录中间结果”。

• 调试技巧： 输出 dp 数组的每一步，看哪里更新出错。

• 多看别人的题解，但不要死背： 尝试用自己的语言复述状态转移方程。

• 自己动手画状态转移图/表格： 尤其是二维的，很容易看清楚转移路径。

• 写一套 DP 模板： 比如你可以整理一个 0-1 背包的代码框架，套着用，省脑子。

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🥚 第一阶段：基础 DP 入门（简单易懂，思路清晰）

1. 斐波那契数列

• 🧠 关键点：递归 + 记忆化 + 迭代 DP

• 💡 状态转移：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

• 💻 LeetCode 原题：509. Fibonacci Number

2. 爬楼梯

• 🧠 类似斐波那契，适合入门

• 💡 每次可以爬 1 或 2 级台阶，问有几种方法爬到第 n 级

• 💻 LeetCode 原题：70. 爬楼梯

3. 打家劫舍 I

• 🧠 房子不能连续偷，典型的“一维状态 + 选与不选”

• 💡 状态转移：dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

• 💻 LeetCode 原题：198. House Robber

🐣 第二阶段：二维 DP + 背包入门

4. 不同路径

• 🧠 从左上角走到右下角，只能向右或下走，问有几种路径

• 💡 状态转移：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

• 💻 LeetCode 原题：62. Unique Paths

5. 0-1 背包问题（基础竞赛题）

• 🧠 有若干物品和一个背包，选择物品装进去使总价值最大，不能重复选

• 💡 状态定义：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

• 💻 洛谷经典入门题：P1048 采药

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🐉 第三阶段：稍进阶一点，挑战一下

6. 最长上升子序列（LIS）

• 🧠 很常见的竞赛题型，DP难度提升一点

• 💡 dp[i] = max(dp[j] + 1) if nums[i] > nums[j]

💻 LeetCode 原题：300. Longest Increasing Subsequence   

7. 完全背包问题

• 🧠 和 0-1 背包不同，每个物品可以选无限次

• 💡 状态转移会略不同：一维优化：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

• 💻 洛谷：P1616 疯狂的采药