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        树（Tree）结构是除了根结点和叶子结点之外，树中任意一个结点只有一个直接前驱结点（父结点）和多个直接后继结点（孩子结点），根结点没有前驱结点，叶子结点没有后继结点。本问学习树的定义、树的术语、树的表示、树的抽象数据类型、树的存储结构。

1.树的定义

（1）树的基本概念

        树（Tree）是n（n ≥ 0）个结点的有限集T，T 为空时称为空树，T 非空时它满足以下两个约定条件：

①有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点。

②其余的结点可分为 m（m ≥ 0）个互不相交的有限子集 T1，T2，…，Tm，其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根的子树（SubTree）。

（2）树的递归定义

        树是递归定义的。结点是树的基本单位，若干个结点组成一棵子树，若干棵互不相交的子树组成一棵树。

        树中的每一个结点都是该树中某一棵子树的根。因此，树是由结点组成的、结点之间的具有层次关系的非线性结构。空树、1个结点、n个结点的树如下图所示。

图1 树的定义

2.树的术语

（1）结点、父母、孩子与兄弟结点

        结点是树的基本单位，结点是包含一个数据元素及指向其若干子树的分支。在树的图形表示中为一个圆圈。结点的前驱结点称为其父母（Parent）结点，结点的后继结点称为其孩子（Child）结点。一棵树中只有根结点没有父母结点，其他结点有且仅有一个父母结点。拥有同一个父母结点的多个结点之间称为兄弟（Sibling）结点。

        结点的祖先(Ancestor)是指其父母结点以及父母的父母结点等，直至根结点。结点的后代（Descendant，也称子孙）是指其所有孩子结点，以及孩子的孩子结点等。

图2 树的层次和高度

        如图2中，结点A是根结点，结点A是结点B、C、D的父母结点，结点E、F是结点B的孩子结点，结点B、C、D之间是兄弟结点，结点A是结点E、F的祖先，结点E、F是结点A的孙子。

（2）度

        结点的度（Degree）是结点所拥有的子树数。度为0的结点称为叶子结点（Leaf），又称为终端结点；树中除叶子结点之外的其他结点称为分支结点，又称为非终端结点。树的度是树中各结点的度的最大值。

        如图2中，结点A有B、C、D共3个孩子，结点A的度所以度为3；结点B有E、F共2个孩子，结点B的度所以度为2；结点C有G共1个孩子，结点C的度所以度为1；结点D有H、I共2个孩子，结点D的度所以度为2；所以树的度为3。E、F、G、H、I是叶子结点，度为0。

（3）结点层次、树的高度

        结点的层次（Level）反映结点在树中的层次位置，约定根结点的层次为 1，其余结点的层次等于其父母结点的层次加 1。显然，兄弟结点层次相同。树的高度（Height）或深度（Depth）是指树中各结点的层次最大值。

如图2中，树有3层，树的高度为3。

（4）边、路径

        设树中X结点是Y结点的父母结点，有序对（X，Y）称为连接这两个结点的分支，也称为边。

        设（X0，X1，…，Xk-1）是树中结点组成的序列，且（Xi，Xi+1）（0≦i≦k-1）都是树中的边，则称该序列为X0到Xk-1的一条路径（Path）。路径长度（Path Length）为路径上的边数。

        如图2中，有序对（A，B）是树中的一条边，同样的还有（A，C）、（A，D）、（B，E）、（B，F）、（C，G）...

        （A，B，E）、（A，B，F）...是树中的一条路径。

（5）无序树、有序树

        在树的定义中，结点的子树T0，T1，T2，…，Tm-1之间没有次序，可以交换位置，称为无序树。

        如果结点的子树T0，Tl，T2，…，Tm-1从左到右是有次序的，不能交换位置，则称为有序树。

（6）森林

        森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中的每一个结点而言，其子树的集合即为森林，可以通过森林与树相互递归的定义来描述树。

图3 森林

3.树的表示

（1）图示法

        结点用圆圈表示，结点名字写在圆圈旁或圆圈内，子树与其根之间用无向边来连接，如图4是图示法表示的树。

图4 图示法

（2）嵌套集合表示法

用集合的包含关系描述树结构，可以使用如图5是树的嵌套集合表示。

图5 嵌套集合表示法

（3）凹入表示法

        类似于书的目录，使用线段的伸缩描述树结构。图6是树的凹入表示法。

图6 凹入表示法

4.树的抽象数据类型

（1）树的接口TTree

public interface TTree<T> {public boolean isEmpty();//判断是否空树public int count();//返回树的结点个数public int height();//返回树的高度//返回p结点的孩子结点个数public int childCount(TreeNode<T>p);publicvoid preOrder();//先序遍历树publicvoid postOrder();//后序遍历树public void levelOrder();//层次遍历树//返回p结点的第i(i>=0)个孩子结点public TreeNode<T> getChild(TreeNode<T>p,inti);//返回p结点的最后一个孩子结点public TreeNode<T> getLastChild(TreeNode<T>p);//返回p结点的最后一个兄弟结点public TreeNode<T> getLastSibling(TreeNode<T>p);//返回node的父结点public TreeNode<T> getParent(TreeNode<T>node);public TreeNode<T> search(T x);//查找并返回元素为x的结点public void insertRoot(T x); //插入元素x作为根结点//插入x元素作为p结点的第i个孩子public TreeNode<T> insertChild(TreeNode<T>p,T x,inti);//插入最后一个孩子结点public TreeNode<T> insertLastChild(TreeNode<T>p,T x);//插入最后一个兄弟结点public TreeNode<T> insertLastSibling(TreeNode<T>p,T x);//删除以P的第i个孩子为根的子树publicvoid removeChild(TreeNode<T>p,inti);publicvoid removeAll();//删除树}

（2）树的结点类

public class TreeNode<T> {public T data;          //数据域，存储数据元素public TreeNode<T>child;  //孩子结点public TreeNode<T>sibling; //兄弟结点public TreeNode(T data,TreeNode<T>child,TreeNode<T>sibling) {this.data=data;this.child=child;this.sibling=sibling;}public TreeNode(T data) {this(data,null,null);  //构造指定值的叶子结点}public TreeNode() {this(null,null,null);  //空树}}

5.树的存储结构

（1）双亲表示法

        假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指向其双亲结点到链表中的位置。也就是说每个结点除了知道自己之外还需要知道它的双亲在哪里。

图7 双亲表示法的结点结构

        双亲表示法如图8所示，其中data为结点本身，parent为其父结点（双亲）在链表中的位置（下标）。

图8 双亲表示法

        由于根结点是没有双亲的，约定根结点的位置域为-1。

        根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点。所用时间复杂度为O(1)，当parent为-1时，表示找到了树的根结点。

        缺点：如果要找到孩子结点，需要遍历整个结构才行。

（2）孩子表示法

        把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

图9 孩子表示法

（3）孩子兄弟表示法

        孩子兄弟表示法：任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟存在也是唯一的。因此，设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

图10 孩子兄弟表示法的结点结构

图11 孩子兄弟表示法