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简介

DDPM即去噪扩散概率模型（Denoising Diffusion Probabilistic Models），是一种生成式模型，在图像生成、视频生成等领域有广泛应用。以下是其详细介绍：

原理

• DDPM的核心思想是通过在数据上逐步添加噪声来破坏数据，然后学习一个逆过程，从噪声中恢复出原始数据。这个过程基于马尔可夫链，将数据的生成看作是从噪声中逐步采样并去噪的过程。
• 前向过程（正向扩散）：从干净的图像(x_0)开始，通过不断地添加高斯噪声，逐步将图像转化为纯噪声(x_T)。在每一步(t)，根据给定的噪声 schedule（通常是一个固定的方差序列），按照公式(q(x_t|x_{t - 1}) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{1 - \beta_t}x_{t - 1}, \beta_t\mathbf{I}))来添加噪声，其中(\beta_t)是第(t)步的噪声方差，(\mathcal{N})表示高斯分布。
• 反向过程（逆向去噪）：学习一个神经网络（通常是U-Net结构）来估计在给定噪声图像(x_t)的情况下，前一步干净图像(x_{t - 1})的条件分布(p_{\theta}(x_{t - 1}|x_t))。通过最小化重建损失等目标函数来训练这个神经网络，使得它能够逐渐从噪声中恢复出原始图像。

模型架构

• DDPM通常使用U-Net作为其核心的神经网络架构。U-Net具有编码器和解码器结构，中间通过跳跃连接（skip connections）相连。编码器部分用于提取图像的特征，随着网络层数的加深，特征图的分辨率逐渐降低，通道数逐渐增加；解码器部分则是将低分辨率、高通道数的特征图逐步上采样，恢复出原始图像的分辨率，同时利用跳跃连接来融合编码器不同层次的特征，以更好地重建图像细节。

训练与采样

• 训练：在训练过程中，从数据集中随机采样图像，然后按照正向扩散过程添加噪声，将噪声图像和对应的时间步(t)作为输入，将原始干净图像作为目标，训练神经网络来最小化预测的去噪图像与真实干净图像之间的损失，常用的损失函数有均方误差（MSE）等。
• 采样：在生成阶段，从纯噪声(x_T)开始，按照训练好的反向去噪过程，逐步从(p_{\theta}(x_{t - 1}|x_t))中采样，经过(T)步的采样，最终得到生成的图像(x_0)。

优点

• 生成的样本质量高，在图像生成任务中能够生成具有丰富细节和多样性的图像。
• 模型的理论基础较为坚实，基于扩散过程的建模方式具有清晰的数学原理。
• 训练过程相对稳定，相比一些其他生成式模型，如对抗生成网络（GANs），DDPM的训练更容易收敛，不需要对抗训练中复杂的博弈过程。

局限性

• 采样过程计算量较大，由于需要从噪声中逐步采样生成图像，生成过程较为耗时，尤其是在生成高分辨率图像时，采样步数较多，计算成本较高。
• 对内存要求较高，在训练和采样过程中，需要存储大量的中间特征和模型参数，对于一些资源有限的设备来说，可能难以满足需求。

DDPM为生成式模型的发展提供了新的思路和方法，其后续也有许多改进和扩展的工作，推动了生成式模型在更多领域的应用和发展。

核心原理和特点

DDPM（Denoising Diffusion Probabilistic Models，去噪扩散概率模型）是一种基于扩散过程的生成模型，通过逐步添加和去除噪声来学习数据分布并生成高质量样本。以下是其核心原理和特点：

1. 核心思想

DDPM通过两个马尔可夫链过程实现生成：

• 前向扩散过程（Forward Process）：
  对输入数据$x_0$逐步添加高斯噪声，经过$T$步后转化为纯噪声$x_T$。每一步的加噪公式为：
  $$x_t=\sqrt{{\alpha }_t}{x}_{t-1}+\sqrt{1-{\alpha }_t}{ϵ}_t,{ϵ}_t\sim \mathcal{N}(0,I)$$
  其中${\alpha }_t$是预定义的噪声调度参数（如线性插值），控制噪声添加的强度。

• 反向去噪过程（Reverse Process）：
  训练一个神经网络（通常为U-Net）预测噪声${ϵ}_{\theta }(x_t,t)$，逐步从$x_T$恢复原始数据$x_0$。每一步的生成公式为：
  $$x_{t-1}=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_t}}\left(x_t-\frac{1-{\alpha }_t}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}{ϵ}_{\theta }(x_t,t)\right)+{\sigma }_{t}z,z\sim \mathcal{N}(0,I)$$
  其中${\bar{\alpha }}_t={\prod }_{s=1}^t{\alpha }_s$，${\sigma }_t$为噪声方差。

2. 训练与损失函数

• 目标：最小化预测噪声与真实噪声的均方误差（MSE）：
  $$L(\theta )={\mathbb{E}}_{x_0,t,ϵ}\left[\Vert ϵ-{ϵ}_{\theta }(x_t,t){\Vert }^2\right]$$
  通过重参数化技巧直接优化噪声预测。
• 高效训练：利用重参数化直接从$x_0$计算任意$x_t$，避免逐步采样噪声。

3. 数学基础

• 马尔可夫链：前向和反向过程均为马尔可夫链，保证无后效性。
• 变分推断：通过最大化ELBO（证据下界）近似数据分布。

DDPM通过理论严谨的扩散过程和高效的噪声预测机制，成为当前生成模型的核心框架之一，推动了文生图、视频生成等领域的发展。