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0. 前言

主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 是一种强大的降维工具，通过找到数据的主成分，可以有效地减少数据的复杂性，去除冗余特征，并保留数据的主要信息，在数据预处理、特征提取和可视化等方面都有广泛的应用。

1. 主成分分析

主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 是最流行的用于降维的多变量统计技术。它分析由多个相关变量组成的训练数据，并从中提取出重要信息，这些信息以一组新的正交变量(称为主成分, principal components )的形式呈现。
我们可以通过两种方法来执行 PCA，包括特征分解 (eigen decomposition) 和奇异值分解 (singular value decomposition, SVD)。PCA 将 $n$ 维输入数据降维到 $r$ 维，其中 $r<n$。简单来说，PCA 平移原点并旋转坐标轴，使得其中一个轴(主轴)具有数据点的最大方差。通过这种变换，我们从原始数据集中得到一个降维数据集，然后去除低方差的正交轴。在本节中，我们使用 SVD 方法来进行 PCA 降维。假设 $X$ 是一个 $n$ 维数据，包含 $p$ 个点，即 $X$ 是一个大小为 $p\times n$ 的矩阵。根据线性代数，我们知道任何实矩阵都可以通过奇异值分解进行分解：
$$X=U\Sigma V^T$$
其中，$U$ 和 $V$ 分别是大小为 $p\times p$ 和 $n\times n$ 的正交矩阵(即，$U{U}^T=V{V}^T=E$，$E$ 为单位矩阵)，$\Sigma$ 是一个 $p\times n$ 的对角矩阵。$U$ 矩阵被称为左奇异矩阵，$V$ 矩阵是右奇异矩阵，而 $\Sigma$ 对角矩阵包含 $X$ 的奇异值作为其对角元素。这里我们假设 $X$ 矩阵已中心化。$V$ 矩阵的列是主成分，而 $U\Sigma$ 矩阵的列是经过主成分转换的数据。
为了将数据的维度从 $n$ 减少到 $k$ (其中 $k<n$)，选择 $U$ 的前 $k$ 列和 $\Sigma$ 的左上角 $k\times k$ 部分。这两者的乘积为降维后的矩阵：
$$Y_k=U{\Sigma }_k$$
得到的数据 $Y$ 将具有降低特征。接下来，使用 TensorFlow 实现 PCA。

2. 使用 TensorFlow 实现 PCA

(1) 导入所需库，除了 TensorFlow 外，还需要 NumPy 进行一些基本的矩阵计算，以及 Matplotlib、Matplotlib 和 Seaborn 进行可视化：

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import seaborn as sns

(2) 接下来，加载 MNIST 数据集。由于使用 PCA 进行降维，不需要测试数据集和标签；这里加载标签是为了在降维后验证 PCA 的性能。PCA 应该将相似的数据点聚集在一个簇中；因此，如果使用 PCA 形成的簇与标签相关，表明 PCA 算法工作正常：

((x_train, y_train), (_, _)) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()

(3) 对数据进行预处理。首先对数据进行归一化，使所有数据值介于 0 和 1 之间，然后将图像由尺寸为 28 × 28 的矩阵重塑为 784 维的向量，最后通过减去均值进行中心化：

x_train = x_train / 255.
x_train = x_train.astype(np.float32)
x_train = np.reshape(x_train, (x_train.shape[0], 784))mean = x_train.mean(axis = 1)
x_train = x_train - mean[:,None]

(4) 利用 TensorFlow 的线性代数 (linalg) 模块计算训练数据集的奇异值分解 (singular value decomposition, SVD)。TensorFlow 使用 tf.linalg 中的 svd() 函数执行 SVD 任务。然后使用 diag 函数将 $\Sigma$ 数组(奇异值的列表 $s$ )转换为对角矩阵：

s, u, v = tf.linalg.svd(x_train)
s = tf.linalg.diag(s)

得到一个大小为 784 × 784 的对角矩阵 $s$；一个大小为 60,000 × 784 的左奇异矩阵 $u$；以及一个大小为 784 × 784 的右奇异矩阵 $v$。由于 svd() 函数的 full_matrices 参数默认设置为 False，因此，它不会生成完整的 $U$ 矩阵(完整的 $U$ 矩阵大小为 60,000 × 60,000)；而是如果输入 $X$ 的大小为 $m\times n$，它会生成大小为 $p=min(m,n)$ 的 $U$ 矩阵。

(5) 可以通过将 $u$ 和 $s$ 的相应切片相乘来生成降维后的数据。我们可以选择将数据减少到小于 784 的任何维度，在本节中，我们将数据从 784 维减少到 3 维，以便后续更容易可视化。使用 tf.Tensor.getitem 对矩阵执行切片：

k = 3
pca = tf.matmul(u[:,0:k], s[0:k,0:k])

(6) 比较原始数据和降维数据的形状：

print('original data shape',x_train.shape)
print('reduced data shape', pca.shape) # original data shape (60000, 784)
# reduced data shape (60000, 3)

(7) 最后，在三维空间中绘制数据点：

Set = sns.color_palette("Set2", 10)
color_mapping = {key:value for (key,value) in enumerate(Set)}
colors = list(map(lambda x: color_mapping[x], y_train))
print(type(colors))
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(pca[:, 0].numpy(), pca[:, 1].numpy(), pca[:, 2].numpy(), c=colors)
plt.show() 

可以看到，相同颜色(即相同标签)的点聚集在一起。因此，可以认为已经成功地使用 PCA 将 MNIST 图像的维度降低。每个原始图像的大小为 28 × 28。使用 PCA 方法，我们可以将其减少到更小的尺寸。通常，对于图像数据，降维是必要的，因为图像的大小很大，并且包含大量冗余数据。

3. TensorFlow 嵌入 API

TensorFlow 提供了一个嵌入 API，使用 TensorBoard 查找和可视化 PCA 和 tSNE 聚类，可以查看 MNIST 图像上的实时 PCA 。

可以使用 TensorBoard 来处理数据，TensorBoard 包含了一个称为 Embedding Projector 的工具，允许用户交互式地可视化嵌入。Embedding Projector 工具有三个面板：

• 数据 (Data) 面板：可以在此面板中选择数据、标签等
• 投影 (Projection) 面板：可以在此面板选择所需的投影类型，提供了 4 种选择：UMAP、PCA、t-SNE 和自定义 (CUSTOM)
• 检查 (Inspector) 面板：可以在此面板搜索特定的点，并查看最近邻的列表

PCA 是一个用于可视化数据集和寻找变量之间线性关系的有用工具，还可以用于聚类、异常检测和特征选择。

小结

主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 是一种常用的数据降维技术，主要用于处理高维数据并减少数据的复杂性，同时尽可能保留原始数据中的信息。它通过线性变换将数据从原始坐标系投影到一个新的坐标系，在新的坐标系中，数据的方差最大，且各主成分之间互相正交。

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