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这段时间看了VAE的有关知识，但网上关于VAE的讲解较为理论复杂，我这里就记录一下自己的想法了。

定义

VAE从概率的角度描述隐空间与输入样本，它将样本的隐变量建模为概率分布, 而非像AE一样把隐变量看做是离散的值。

AE VS VAE

损失函数

我们假设隐变量的概率分布为标准正态分布$N(0,1)$（这种分布不是必须的，也可以是其它分布）。而描述正态分布需要有两个参数${\mu }_x,{\sigma }_x$，在encoder端使用神经网络来拟合这两个参数。在decoder端，使用神经网络来还原出原始图像。因此，VAE的损失函数分为两部分：

• 正则化项，也就是KL Loss

• 重构损失

$$\begin{array}{rl}L& =L_{Recon}+L_{KL}\\ & =\Vert x-\hat{x}{\Vert }^2+\mathrm{KL}[N({\mu }_x,{\sigma }_x),N(0,1)]\\ & =\Vert x-d(z){\Vert }^2+KL[N({\mu }_x,{\sigma }_x),N(0,1)]\end{array}$$

关于$KL\left[N\left({\mu }_x,{\sigma }_x\right),N(0,1)\right]$的推导如下：

$$\begin{array}{rl}& KL\left(N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)\Vert N(0,1)\right)\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\left(\log \frac{\frac{e^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}}{\frac{e^{\frac{-x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}}\right)dx\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\log \left\{\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2}}\exp \left\{\frac{1}{2}\left[x^2-\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\right]\right\}\right\}dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\left[-\log {\sigma }^2+x^2-\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\right]dx\\ & =\frac{1}{2}\left(-\log {\sigma }^2+{\mu }^2+{\sigma }^2-1\right)\end{array}$$

重参数技巧

我们从概率分布中采样出 $z$ ，但是该过程是不可导的。VAE通过重参数化使得梯度不因采样而断裂。

总结

其实VAE可以看成一个做降维的model，我们希望把一个高维的特征投影到一个低维的流型上。而在VAE中，这个低维流型就是一个多元标准正态分布。为了使投影准确，于是通过希望每一个样本$X_i$的计算出来的期望与方差都接近与我们希望投影的分布，所以这里就有了KL Loss。至于重构损失，是可以使采样的时候更加准确，能够采样到我们在encode的时候投影到的点。

最佳实践

• Pytorch实现: VAE 这篇博客实现了VAE，整体上代码简单易懂。在generation阶段，我们只需从学习到的概率分布中采样，然后送入decoder中解码，即可获得生成的图片。

• 小小将的VAE实现，可以直接运行：https://github.com/xiaohu2015/nngen/blob/main/models/vae.ipynb

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参考

• 变分自编码器VAE：原来是这么一回事

• Understanding Variational Autoencoders (VAEs)

• Pytorch实现: VAE

• 变分自编码器入门

• VAE.ipynb - Colaboratory

• 李宏毅2021春机器学习课程

• VAE.pdf(ntu.edu.tw)

• VAE的推导