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摘要

在用户体验和界面设计中，颜色搭配是个绕不开的核心问题。而在 LeetCode 的一道经典题目「栅栏涂色」中，系统地将这个看似简单的“上色”问题转化为一道有趣的动态规划挑战。今天我们就用 Swift 带你一探这个问题背后的“涂色学”，并分析它的数学规律、代码实现以及实际意义。

描述

题目大意很简单：你要给一排 n 根栅栏涂色。你一共有 k 种颜色可以选择，但有一个限制条件：不能有超过两根相邻的栅栏使用同一种颜色。

你需要返回总共有多少种不同的涂色方法。

例子：

输入: n = 3, k = 2
输出: 6
解释:
可能的涂色方式如下：
1. 红 红 蓝
2. 红 蓝 红
3. 红 蓝 蓝
4. 蓝 蓝 红
5. 蓝 红 蓝
6. 蓝 红 红

题解答案（Swift）

这个题目是动态规划的典型题，我们需要考虑状态转移和子问题的划分。简单来说，我们要区分两种情况：

• same: 最后两根栅栏颜色相同
• diff: 最后两根栅栏颜色不同

根据这两个状态，我们可以构造出一个高效的递推公式。

func numWays(_ n: Int, _ k: Int) -> Int {if n == 0 { return 0 }if n == 1 { return k }var same = 0var diff = kvar total = same + difffor _ in 2...n {same = diffdiff = total * (k - 1)total = same + diff}return total
}

题解代码分析

动态规划核心思路

我们用 same 表示前两根栅栏颜色相同的方案数，diff 表示前两根颜色不同的方案数。总方案数就是这两者之和。

递推关系如下：

• 当前的 same = diff（因为如果前一轮是不同色的，当前这一轮就可以延续相同颜色）
• 当前的 diff = total * (k - 1)（从上一个状态的所有组合中选择不同的颜色）

我们每轮都更新这两个变量，直到涂完 n 根栅栏。

初始条件

• 当 n = 1，只有 k 种可能。

• 当 n = 2，我们可以有：

  • 相同颜色：k（比如红红、蓝蓝）
  • 不同颜色：k * (k - 1)（比如红蓝、蓝红）

示例测试及结果

示例 1：

let result = numWays(3, 2)
print(result)  // 输出: 6

这个结果就跟题目中的例子一致，一共 6 种组合。

示例 2：

let result = numWays(1, 3)
print(result)  // 输出: 3

只有一根栅栏，那就直接从三种颜色里选一种。

示例 3：

let result = numWays(4, 3)
print(result)  // 输出: 66

解释较复杂，但动态规划会自动帮你计算出来所有组合。

时间复杂度

• O(n)
  我们遍历一遍从 2 到 n，所以时间复杂度是线性的。

空间复杂度

• O(1)
  我们只用了几个变量，没有额外数组存储，空间复杂度为常数级。

总结

这个问题虽然看起来像是简单的排列组合，但真正下手的时候会发现，不加限制的排列很容易，但加了“不能超过两个相同颜色”的规则后就变得有点挑战性了。

动态规划的好处就是可以把问题拆成更小的部分，一步步向目标推进。在这题中，理解 same 和 diff 这两个状态是关键。

实际场景联系

想象你是个装修师傅，客户让你刷墙，说每面墙可以选择多种颜色，但不希望连续三面墙刷成一样的颜色（太单调了）。你要怎么安排？其实就是这道题！

或者你是个前端开发者，在设计界面时，需要生成用户界面卡片颜色的方案，同样不能让相邻部分颜色一致。解决方法也就是应用这种动态递推模型。