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公式36到37的推导过程详解

1. 总变差（Total Variation, TV）的定义

总变差距离是衡量两个概率分布 $P$ 和 $Q$ 差异的一种方式，其定义为：
$$\Vert P-Q{\Vert }_{TV}=\underset{A}{\sup }|P(A)-Q(A)|,$$
即对所有可能事件 $A$，两分布概率差的最大绝对值。
另一种等价形式是：
$$\Vert P-Q{\Vert }_{TV}=\frac{1}{2}\int |p(x)-q(x)|dx,$$
即两分布密度函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的 L1 范数 的一半。

2. 总变差与耦合（Coupling）的关系

耦合定理指出，总变差距离等于在所有可能的联合分布（耦合）中，随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相等的 最小概率：
$$\underset{\begin{array}{c}X\sim P\\ Y\sim Q\end{array}}{\inf }\mathbb{E}[1_{X\ne Y}]=\Vert P-Q{\Vert }_{TV}.$$
这里的下确界（$\inf$）表示寻找最优的联合分布 $\gamma (X,Y)$，使得 $X\ne Y$ 的概率最小。

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3. 公式36到37的推导步骤

给定公式36：
$${\Delta }_{p}f\cdot \underset{\begin{array}{c}X\sim \text{Lap}(0,\lambda )\\ Y\sim \text{Lap}({\Delta }_{p}f,\lambda )\end{array}}{\inf }{\left[\mathbb{E}[1_{X\ne Y}]\right]}^{1/\mu },$$
目标是将其转换为总变差形式。

步骤1：应用耦合定理

根据耦合定理，对拉普拉斯分布 $P=\text{Lap}(0,\lambda )$ 和 $Q=\text{Lap}({\Delta }_{p}f,\lambda )$，有：
$$\underset{\begin{array}{c}X\sim P\\ Y\sim Q\end{array}}{\inf }\mathbb{E}[1_{X\ne Y}]=\Vert P-Q{\Vert }_{TV}.$$
因此，公式36中的下确界部分可替换为总变差距离：
$${\Delta }_{p}f\cdot {\left(\Vert P-Q{\Vert }_{TV}\right)}^{1/\mu }.$$

步骤2：总变差的具体计算

对于两个拉普拉斯分布 $P=\text{Lap}(a,\lambda )$ 和 $Q=\text{Lap}(b,\lambda )$，其密度函数为：
$$p(x)=\frac{1}{2\lambda }{e}^{-|x-a|/\lambda },q(x)=\frac{1}{2\lambda }{e}^{-|x-b|/\lambda }.$$
总变差距离可通过积分计算：
$$\Vert P-Q{\Vert }_{TV}=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }|p(x)-q(x)|dx.$$
当 $a=0$、$b={\Delta }_{p}f$ 时，计算得：
$$\Vert P-Q{\Vert }_{TV}=\frac{1}{2}\left(1-e^{-{\Delta }_{p}f/\lambda }\right).$$
（具体推导需展开积分，此处直接给出结果。）

步骤3：代入公式36

将总变差结果代入公式36，得到：
$${\Delta }_{p}f\cdot {\left(\frac{1}{2}\left(1-e^{-{\Delta }_{p}f/\lambda }\right)\right)}^{1/\mu }.$$
这对应公式37的形式：
$$\frac{1}{2}{\Delta }_{p}f\cdot {\left(\Vert \text{Lap}(0,\lambda )-\text{Lap}({\Delta }_{p}f,\lambda ){\Vert }_{TV}\right)}^{1/\mu }.$$

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4. 关键点解释

(1) 为什么总变差出现在公式中？

• 总变差距离直接量化了两个分布的“最大局部差异”，而公式36中的 $\inf \mathbb{E}[1_{X\ne Y}]$ 本质是寻找最耦合下 $X\ne Y$ 的最小概率，这与总变差定义一致。

(2) 为什么有系数 $\frac{1}{2}$？

• 总变差的积分定义中包含了 $\frac{1}{2}$，这是为了归一化结果，使其落在 $[0,1]$ 范围内。

(3) 拉普拉斯分布的敏感性 ${\Delta }_{p}f$

• ${\Delta }_{p}f$ 是 $l_p$-敏感度，表示在相邻数据集上函数 $f$ 输出的最大 $l_p$ 范数差。此处用于调整拉普拉斯分布的均值偏移，以反映数据隐私保护中的噪声尺度。

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5. 总变差与其他散度的对比

散度类型	定义	特点
总变差	$\frac{1}{2}\int |p-q|dx$	几何直观，但对高维分布计算困难。
KL散度	$\int p\log \frac{p}{q}dx$	不对称，对无重叠分布发散。
Wasserstein	最小运输成本	几何敏感，但对计算资源要求较高。

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总结

公式36到37的推导核心在于：

1. 通过 耦合定理 将 $\inf \mathbb{E}[1_{X\ne Y}]$ 转化为总变差距离。
2. 计算拉普拉斯分布的总变差，并引入敏感度 ${\Delta }_{p}f$ 调整噪声分布。
3. 最终将结果表示为总变差的函数形式，为后续隐私分析（如差分隐私）提供理论基础。