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wzjs 2025/8/21 15:11:21

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概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）详解

1. 概述

概率质量函数（PMF, Probability Mass Function）用于描述离散随机变量的概率分布。简单来说，它给出了随机变量取某个具体值的概率。PMF 适用于那些只能取有限个或可数无穷多个离散值的变量，例如抛硬币的结果（正面或反面）、掷骰子的点数（1-6）等。

2. 概率质量函数的数学定义

设 XXX 是一个离散随机变量，取值范围为 $x_1, x_2, \dots, x_n$ ，则概率质量函数定义如下：

$P(X = x) = f(x)$

其中：

P(X = x) 表示随机变量 X 取值为 x 的概率。
f(x) 代表该值的概率质量函数。

PMF 必须满足以下两个条件：

非负性：对于所有可能的 x， $P(X = x) \geq 0$ 。
归一化性质（所有概率之和为 1）：

$\sum_{x \in S} P(X = x) = 1$

其中 S 是随机变量 X 的所有可能取值集合。

3. 概率质量函数的直观解释

概率质量函数可以用柱状图或条形图来表示。例如，在图片中，我们看到一个离散随机变量的概率分布，横轴是可能取值，纵轴是概率，用不同高度的柱子来表示每个取值的概率大小。

4. 例子

(1) 掷骰子的 PMF

假设掷一个公正的 6 面骰子，随机变量 X 表示掷出的点数。由于骰子是公正的，每个点数的概率相等，PMF 如下：

如果用柱状图表示，每个点数x（1 到 6）都会对应一个相等高度的柱子。

(2) 抛硬币的 PMF

设 X 为一次抛硬币时出现正面的次数，则：

这也是一个典型的离散概率分布。

5. PMF 与其他概率分布的关系

概率密度函数（PDF, Probability Density Function）：PMF 适用于离散随机变量，而 PDF 适用于连续随机变量。对于连续变量，例如人的身高或温度，我们不能用 PMF，而需要用概率密度函数。
累积分布函数（CDF, Cumulative Distribution Function）：PMF 只给出某个具体取值的概率，而 CDF 是从小到大累积概率，定义为：

$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} P(X = t)$

CDF 适用于 PMF 和 PDF，但 PMF 直接给出每个取值的独立概率，而 CDF 累加这些概率。