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目录
- 问题描述
- 解决思路
- 回溯法
- 剪枝优化
- 代码实现
- 复杂度分析
- 示例测试
- 总结与扩展
1. 问题描述
给定两个整数 k 和 n，要求找出所有满足以下条件的组合：
- 组合包含
k个不同的数字。 - 组合中数字的和等于
n。 - 组合中的数字范围为
[1, 9]，且每个数字只能使用一次。
示例：
- 输入：
k = 3,n = 7 - 输出：
[[1, 2, 4]] - 解释：
1 + 2 + 4 = 7，且没有其他满足条件的三元组。
2. 解决思路
2.1 回溯法
回溯法是解决组合问题的经典方法。其核心思想是：
- 递归生成候选解：从候选数字中逐个尝试添加元素。
- 剪枝：当发现当前路径无法生成有效解时，提前终止递归。
- 回溯撤销选择：在递归返回后，撤销最后一步选择，尝试其他可能性。
2.2 剪枝优化
为了提升算法效率，需要设计剪枝条件：
- 总和超过目标值：若当前路径的和已超过
n，停止递归。 - 剩余数字不足：若剩余可选的数字不足以填满组合的剩余位置，停止递归。
- 避免重复组合：按升序选择数字，确保组合唯一。例如，选择
[1, 2, 4]后不会生成[2, 1, 4]。
3. 代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;class Solution {public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();backtrack(result, new ArrayList<>(), 1, k, n, 0);return result;}private void backtrack(List<List<Integer>> result,List<Integer> path,int start,int k,int n,int currentSum) {// 终止条件：路径长度等于kif (path.size() == k) {if (currentSum == n) {result.add(new ArrayList<>(path));}return;}// 计算当前可以选择的数字的最大起始值int remaining = k - path.size();int maxPossible = 10 - remaining; // 确保剩余数字足够填充剩余位置maxPossible = Math.min(maxPossible, 9); // 不超过9for (int i = start; i <= maxPossible; i++) {// 剪枝：总和超过n时提前终止if (currentSum + i > n) break;path.add(i);backtrack(result, path, i + 1, k, n, currentSum + i); // 递归下一层path.remove(path.size() - 1); // 回溯撤销选择}}
}
关键代码解释
-
backtrack方法参数：result：存储所有合法组合的结果集。path：当前递归路径上的数字组合。start：当前可选的起始数字（避免重复）。k,n：题目输入的条件。currentSum：当前路径的数字和。
-
剪枝条件：
maxPossible = 10 - remaining：确保剩余的数字足够填充组合的剩余位置。例如，若还需选2个数字，则起始数字最大为8（因为8, 9是最后两个可选数字）。
4. 复杂度分析
- 时间复杂度：最坏情况下需要遍历所有组合，时间复杂度为
O(C(9, k))，即从9个数字中选k个的组合数。 - 空间复杂度：递归调用栈深度为
k，空间复杂度为O(k)。
5. 示例测试
示例 1
输入：k = 3, n = 7
输出：[[1, 2, 4]]
示例 2
输入：k = 4, n = 1
输出：[]
解释：无法找到4个不同的数且和为1。
6. 总结与扩展
- 回溯法的适用性：适合解决组合、排列、子集等问题，通过递归和剪枝平衡效率。
- 剪枝优化的重要性：合理剪枝可以显著减少无效递归路径。
- 扩展问题：
- 组合总和 I（数字可重复使用）
- 组合总和 II（包含重复数字但不可重复使用）
核心收获：通过升序选择数字避免重复，通过预计算最大起始值减少无效遍历。