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ch10 - 最小生成树

有线通讯网

• 知识点：Prim 算法
• 思路：
  • 该题要求对 n 座城市铺设 n - 1 条光缆，并要求所有城市连通，那本质上是一棵树，又要求铺设光缆的费用最低，即要求选取的 n - 1 条光缆的长度最小，自然想到这题其实是求最小生成树，并求对应的边权和。
    • 由题意知，任意两点之间的边权等于两点之间的距离
  • 由于此题边数很大，任意两点之间都有一条边，因此考虑使用 Prim 算法解决

卫星通讯网

• 知识点：Prim 算法
• 思路：
  • 题目的意思是，给定 n 个点，要求将其分成 k 个连通块，使得总的边权和最小。
  • 先从简单的想起，假设 k = 1，要想使得总边权和最小，那自然是最小生成树的边权和。
    • 再考虑 k = 2，这时可以多分出一个连通块，那么显然去掉最小生成树中的一条边就可以变成两个连通块，显然应该去掉之前最小生成树中权值最大的边。
      • 思考：为什么不重新考虑构建两个连通块，而是在最小生成树的基础上操作？本质是一样的。因为假设存在两个新的连通块，对每个连通块内部算一次最小生成树，那么这两个树要么是之前整个最小生成树的子树，要么权值和与对应的子树相同，不会更优，因此实际上也等价于在整个最小生成树上删除了一条边。
    • 同理，依次类推，如果要分成 k 个连通块，只需要删除边权最大的 k - 1 条边即可
      • 可以在进行 Prim 算法的时候，通过一个大根堆来存储所有边权，最后从答案中去掉边权最大的 k - 1 条边即可

「USACO 07DEC」Building Roads

• 知识点：最小生成树
• 思路：
  • 原问题可以成是一个有着 n 个节点的完全图，实质上为最小生成树求解的问题（连通所有节点，且总边权和最小），其中已有的边可以认为边权为 0（不会对答案产生贡献）。
  • 原图可以视为一个完全图，边数较多，考虑使用 prim 算法解决（由于 n 只有 1000，用 kruskal 算法解决也可以）

「USACO 08OCT」Watering Hole

• 知识点：最小生成树
• 思路：
  • 将 n 个农场看成图上的 n 个节点，任意两点间都有一条边，连接一条边有相应的花费（边权），并且在一个结点上建立一个水井也有花费，同样是花费，能否将建立水井的过程也同样看成是一条边呢（边权是建水井的花费）？每个点都有一条边，这些边应该连向哪里（它们都能产生一个水井，水井之间没有区别）？
    • 根据题意，要求每个农场（节点）都要和水井相连，因此考虑新建一个 “超级水井”（新增节点），所有建立水井的边都连上这个 “超级水井”，与该 “超级水井” 直接、或间接相连的点都能连通到该水井上（满足题目连水井的要求）
  • 题目又要求总花费最少，考虑在该图上求最小生成树的边权和，这样能保证所有节点都能连到超级水井上，且总代价最小。
  • 综上所述，考虑设定节点 n + 1 为 “超级水井” 节点，每个普通节点 i 连向 n + 1 节点的边权为在节点 i 上建立水井的代价，对这样一个 n + 1 节点的图求最小生成树的边权和即可。

「USACO 19OPEN」I Would Walk 500 Miles

• 知识点：最小生成树

• 思路：

  • 题意：可以将每头奶牛看成一个节点，任意两头奶牛之间都有一条边（边权为两个奶牛的距离），那么问题实质上是将 n 个点分成 k 组，组内的点之间没有距离，组间元素会有距离，问如何分组，可以使得组间距离最小值 M 最大，并求最大的 M。
  • 分析：
    • 可以先考虑 k = n 时的情形，那么显然每组中只有一个元素，那么 M 即为对应最小生成树中边权的最小值（实际上也是所有距离中的最小值）。
    • 思考 k = n - 1 时的情形，需要把两个点合并成一组，要想使得 M 尽可能地大，应该合并哪两个点？应该选择最小生成树中边权最小的那条边对应的两个点，将两个点合并成一个组，那么就能在最小生成树上去掉这条边权最小的边，M 就变成了原本最小生成树中边权第二小的值。以此类推，每次可以去掉一条最小生成树中边权最小的边，使得 M 尽可能地大。
      • 需要去掉多少条边？初始的时候默认分成 n 组，每次去掉一条边（合并两点为一组），组数减少 1，最终的组数是 k 组，因此需要减少 n - k 条边。
      • 如果将所有最小生成树上边的权值从小到大排序，那么第 n - k + 1 条边的权值即是答案（前 n - k 条边已经被减去了）
  • 综上所述，先对 n 个点的图求一次最小生成树，并将每一条边加入到一个数组中，从小到大排序后，第 n - k + 1 小的边（也是第 k - 1 大的边）的权值即是答案。

• 易错点：

  • 由于两点间的距离可能很大，需要使用 long long 类型。

「NOIP2013」货车运输 (easy version)

• 详见课本 【例10.2】货物运输