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与神经网络的发展类比
| 感知器准则 | → \rightarrow → | 最小平方误差判别 |
|---|---|---|
| ∣ ∣ | | ∣∣ | ↓ \downarrow ↓神经网络，误差反馈学习 | ∣ ∣ | | ∣∣ |
| 感知器模型（误差反馈学习） | → \rightarrow → | 线性神经单元（梯度下降法） |
在线性不可分的情况下，不等式组
θ T z i > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , N (1) \boldsymbol{\theta}^{\rm T} \boldsymbol{z}_i > 0, \quad i = 1, 2, \cdots, N \tag{1} θTzi>0,i=1,2,⋯,N(1)
不可能同时满足。一种直观的想法就是，希望求解一个 θ \boldsymbol{\theta} θ使被错分的样本尽可能少，即不满足不等式 (1) 的样本尽可能少，这种方法是通过解线性不等式组来最小化错分样本数目，通常采用搜索算法求解。
但是，求解线性不等式组有时并不方便，为了避免此问题，可以引进一系列待定的常数，把不等式组 (1) 转变成下列方程组
θ T z i = y i > 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , N \boldsymbol{\theta}^{\rm T} \boldsymbol{z}_i = y_i > 0, \quad i = 1, 2, \cdots, N θTzi=yi>0,i=1,2,⋯,N
或写成矩阵形式
Z θ = y \boldsymbol{Z} \boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{y} Zθ=y
假设一组 d d d维样本集 x 1 , x 2 , ⋯ , x n \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_n x1,x2,⋯,xn，其中 n 1 n_1 n1个属于 C 1 C_1 C1类的样本记为子集 D 1 \mathcal{D}_1 D1, n 2 n_2 n2个属于 C 2 C_2 C2类的样本记为子集 D 2 \mathcal{D}_2 D2。进一步，假设一个从 x i \boldsymbol{x}_i xi生成的样本 z i \boldsymbol{z}_i zi，它通过加上一个阈值分量 x 0 ≡ 1 x_0 \equiv 1 x0≡1而得到“增广样本向量”。而且如果它被归为 C 2 C_2 C2，那么整个模式向量都乘以 − 1 -1 −1，也就是“规范化”操作。不失一般性，可以假设前 n 1 n_1 n1个样本属于 C 1 C_1 C1，后 n 2 n_2 n2个样本属于 C 2 C_2 C2。这样矩阵 Z \boldsymbol{Z} Z就可以写成分块矩阵
Z = [ 1 1 X 1 − 1 2 − X 2 ] \boldsymbol{Z}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{1}_1 & \boldsymbol{X}_1 \\ -\boldsymbol{1}_2 & -\boldsymbol{X}_2 \end{bmatrix} Z=[11−12X1−X2]
其中， 1 i \boldsymbol{1}_i 1i是 n i n_i ni个 1 的列向量， X i \boldsymbol{X}_i Xi是一个 n i × d n_i \times d ni×d矩阵，它的行是属于 C i C_i Ci的样本。
同样将 θ \boldsymbol{\theta} θ和 y \boldsymbol{y} y分块：
θ = [ w 0 w ] \boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} w_0 \\ \boldsymbol{w} \end{bmatrix} θ=[w0w]
且
y = [ 1 1 1 2 ] \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1}_1 \\ \boldsymbol{1}_2 \end{bmatrix} y=[1112]
同样地，负号可以放在右端项
Z = [ 1 1 X 1 1 2 X 2 ] \boldsymbol{Z}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{1}_1 & \boldsymbol{X}_1 \\ \boldsymbol{1}_2 & \boldsymbol{X}_2 \end{bmatrix} Z=[1112X1X2]
y = [ 1 1 − 1 2 ] \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1}_1 \\ -\boldsymbol{1}_2 \end{bmatrix} y=[11−12]
从此， y \boldsymbol{y} y就有了新的物理解释，可以看成是类别标记，对于 Y = 1 Y=1 Y=1的类别，标记为1，对于 Y = − 1 Y=-1 Y=−1的类别，标记为-1。从样本点 { C 1 , C 2 } \{C_1, C_2\} {C1,C2}到数值的映射。统计学模型中经常描述的样本划分，因此用样本点表示。机器学习因为是从输入到输出的映射，因此用数值表示类别标记。（注：凡事把C_1, C_2当集合的，都是概念不清，因为Duda用的 ω 1 \omega_1 ω1, ω 2 \omega_2 ω2，但Duda数学功底扎实，没有数学概念错误，某人誊抄他的，自以为聪明的用了集合语言）
为了表述方便，仍用 X \boldsymbol{X} X表示规范化增广样本矩阵， w {\bm w} w表示增广权向量。最小二乘准则寻找解向量 w {\bm w} w，使误差的平方和最小
J S ( w ) = ∥ e ∥ 2 2 = ∥ y − X w ∥ 2 2 = ∑ i = 1 n ( y i − w T x i ) 2 J_{S} \left( {\bm w} \right) = \lVert {\bm e} \rVert^2_2 = \lVert {\bm y} - {{\bm X}} {\bm w}\rVert^2_2 = \sum\limits_{i=1}^{n} \left( {\bm y}_i - {\bm w}^{\rm T} {\bm x}_i \right)^2 JS(w)=∥e∥22=∥y−Xw∥22=i=1∑n(yi−wTxi)2
可以用伪逆解或者梯度下降法求解。
最小二乘准则的目标是使误差平方和最小，而不是错误分类样本数最小。对于线性可分样本集，决策面也不一定能将两类样本完全正确分开，不能确保每个样本都被正确分类。
