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本文重点

瑞利商是线性代数中的一个重要概念，具有丰富的性质和广泛的应用。通过求解瑞利商的最大值或最小值，可以找到矩阵的特征值和特征向量，进而解决降维、聚类、优化和计算机视觉等领域的问题。广义瑞利商作为瑞利商的推广形式，在机器学习和数据分析中也发挥着重要作用。

瑞利商的定义

瑞利商（Rayleigh Quotient）是线性代数中的一个重要概念，它定义为一个标量函数，形式为：

其中，A 是一个 n×n 的Hermitian矩阵（在实数情况下，通常指的是实对称矩阵），x 是一个非零的 n 维向量。

瑞利商的性质

缩放不变性：

对于任意的非0实数k，可以得到：

R（A,x）=R（A,kx）

这个表示对向量x缩放之后，瑞利商不会发生变化。

上下界性质：

由于将向量乘以非0系数k之后，瑞利商并没