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单应矩阵（Homography Matrix）

单应矩阵（Homography Matrix）是计算机视觉中描述同一平面在不同视角下投影变换的核心工具，广泛应用于图像校正、拼接、虚拟广告牌替换等场景。以下从原理、求解方法和C++实现三方面展开详解：

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一、单应矩阵的数学原理

1. 定义与作用
   单应矩阵是3×3的齐次矩阵，满足关系：
   $$s\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{H}\cdot \mathbf{x}$$
   其中，$\mathbf{x}$和${\mathbf{x}}^{\prime }$分别为同一平面点在不同图像中的齐次坐标，(s)为尺度因子。单应矩阵通过内参矩阵（$K$）、旋转矩阵（$R$）、平移向量（$t$）及平面法向量（$\mathbf{n}$）共同决定：
   $$\mathbf{H}=K\cdot (R+\frac{t\cdot {\mathbf{n}}^T}{d})\cdot K^{-1}$$
   （(d)为平面到相机的距离）

2. 关键特性

   • 自由度：8（因齐次坐标的尺度不变性，需归一化）。
   • 应用场景：
     • 图像矫正（如银行卡正视图生成）
     • 相机标定（张氏标定法）
     • 增强现实（虚拟物体贴合平面）

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二、单应矩阵的求解方法

1. 直接线性变换（DLT）

步骤：

1. 匹配点对：选取4对以上平面点（像素坐标），满足${\mathbf{x}}_i^{\prime }=\mathbf{H}\cdot {\mathbf{x}}_i$。
2. 构建方程：每对点生成2个方程，如：
   $$\{\begin{array}{l}{x}_i^{\prime }=\frac{h_{11}{x}_i+h_{12}{y}_i+h_{13}}{h_{31}{x}_i+h_{32}{y}_i+h_{33}}\\ y_i^{\prime }=\frac{h_{21}{x}_i+h^{}}{h_{31}{x}_i+h_{32}{y}_i+h_{33}}\end{array}$$