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前言

在自然语言处理（NLP）的广阔天地中，如何让计算机理解人类语言的丰富内涵，一直是核心挑战。词嵌入（Word Embedding）技术为此提供了优雅的解决方案，它将词语映射到低维、稠密的向量空间中，使得语义相近的词在空间中的距离也相近。

我们之前已经熟悉了像Word2Vec这样的模型，它通过局部上下文窗口来学习词向量。然而，Word2Vec的视野有限，它一次只能看到一个小的上下文窗口，忽略了语料库中丰富的全局统计信息。

今天，我们将深入探讨另一种强大的词嵌入模型——GloVe（Global Vectors for Word Representation）。顾名思义，GloVe旨在融合两类词嵌入方法的优点：既能利用word2vec强大的局部上下文预测能力，又能结合LSA（Latent Semantic Analysis）等矩阵分解方法利用全局统计信息的能力。它通过对全局的“词-词共现矩阵”进行高效的学习，捕捉词语之间更深层次的语义关系。

本篇文章将详细拆解GloVe模型的数学原理，从它与跳元模型（Skip-gram）的联系出发，逐步揭示其巧妙的设计思想。虽然标题中带有“PyTorch版”，但理解其背后的数学原理是进行任何代码实现前至关重要的一步。让我们一起开始这场理论探索之旅吧！

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带全局语料统计的跳元模型

要理解GloVe，我们不妨先回到熟悉的跳元模型（Skip-gram），并尝试用全局语料库的统计数据来重新审视它。

上下文窗口内的词共现可以携带丰富的语义信息。例如，在一个大型语料库中，“固体”比“气体”更有可能与“冰”共现，但“气体”一词与“蒸汽”的共现频率可能比与“冰”的共现频率更高。此外，可以预先计算此类共现的全局语料库统计数据：这可以提高训练效率。

用 $q_{ij}$ 表示词 $w_j$ 的条件概率 $P(w_j\mid w_i)$，在跳元模型中给定中心词 $w_i$，我们有：

$$q_{ij}=\frac{\exp ({\mathbf{u}}_j^{\top }{\mathbf{v}}_i)}{{\sum }_{k\in \mathcal{V}}\text{exp}({\mathbf{u}}_k^{\top }{\mathbf{v}}_i)}$$

其中，对于任意索引 $i$，向量 ${\mathbf{v}}_i$ 和 ${\mathbf{u}}_i$ 分别表示词 $w_i$ 作为中心词和上下文词的向量，且 V = { 0 , 1 , … , ∣ V ∣ − 1 } \mathcal{V} = \{0, 1, \ldots, |\mathcal{V}|-1\} V={0,1,…,∣V∣−1} 是词表的索引集。

[图片：一个中心词（如“learning”）及其上下文窗口（如“deep”, “from”, “code”）的示意图，突出“共现”的概念]

现在，让我们考虑整个语料库。词 $w_i$ 可能出现多次。所有以 $w_i$ 为中心词的上下文词，共同构成一个词索引的多重集 ${\mathcal{C}}_i$（允许元素重复）。我们将多重集 ${\mathcal{C}}_i$ 中元素 $j$ 的重复次数（重数）表示为 $x_{ij}$。这其实就是词 $w_j$（作为上下文词）与词 $w_i$（作为中心词）在整个语料库的同一上下文窗口中的全局共现计数。

利用这个全局统计量 $x_{ij}$，跳元模型的损失函数可以等价地写成：

$$-\sum _{i\in \mathcal{V}}\sum _{j\in \mathcal{V}}{x}_{ij}\log q_{ij}$$

我们进一步定义两个量：

• $x_i={\sum }_{}$