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前言
GRBL 是一款高性能、开源的嵌入式 CNC（计算机数控）控制器固件，专为 Arduino 平台优化，广泛应用于雕刻机、激光切割机、3D 打印机及其他精密运动控制场景。自 2009 年发布以来，GRBL 凭借其高效的运动规划算法、稳定的实时控制性能和紧凑的代码结构，成为创客、工程师和制造商的首选解决方案。
本文深入剖析 GRBL1.1 的圆弧插补实现原理，从参数解析、误差控制逐层拆解，帮助读者理解其底层逻辑与设计思想，为开发者优化运动算法或用户调参提供理论参考。
一.GRBL圆弧插补流程
1 .函数定义部分
#ifdef USE_LINE_NUMBERSvoid mc_arc(float *position, float *target, float *offset, float radius, float feed_rate, uint8_t invert_feed_rate, uint8_t axis_0, uint8_t axis_1, uint8_t axis_linear, uint8_t is_clockwise_arc, int32_t line_number)
#elsevoid mc_arc(float *position, float *target, float *offset, float radius, float feed_rate,uint8_t invert_feed_rate, uint8_t axis_0, uint8_t axis_1, uint8_t axis_linear, uint8_t is_clockwise_arc)
#endif
这是一个条件编译的函数定义，根据是否定义了USE_LINE_NUMBERS宏决定是否包含line_number参数
参数说明：
position: 当前位置坐标数组
target: 目标位置坐标数组
**offset: **从起点到圆心的偏移量
radius: 圆弧半径
**feed_rate: **进给速率
invert_feed_rate: 是否反转进给速率标志
**axis_0: **第一个圆弧平面轴(X/Y/Z中的某一个)
axis_1: 第二个圆弧平面轴
**axis_linear: **线性轴(垂直于圆弧平面的轴)
**is_clockwise_arc: **是否为顺时针圆弧标志
**line_number: **(可选)行号，用于调试或G代码解析
2 .流程图
以下是圆弧插补流程图
二.GRBL圆弧插补算法
1 .圆心坐标计算
根据 gc_execute_line()函数， 对G02，G03代码进行解析，通过向量几何和勾股定理，将G代码中的两点+半径参数转换为圆心坐标。
uint8_t gc_execute_line(char *line)
{
...// 如果当前单位为英寸模式，将半径值转换为毫米if (gc_block.modal.units == UNITS_MODE_INCHES) { gc_block.values.r *= MM_PER_INCH; }// 计算中间变量 h_x2_div_d = 4*r² - x² - y²float h_x2_div_d = 4.0 * gc_block.values.r*gc_block.values.r - x*x - y*y;// 如果计算结果为负，说明圆弧半径错误（无法构成有效圆弧）if (h_x2_div_d < 0) { FAIL(STATUS_GCODE_ARC_RADIUS_ERROR); } // [圆弧半径错误]// 完成 h_x2_div_d 的计算：-sqrt(h_x2_div_d)/hypot(x,y) // 等价于 -(h * 2 / d)h_x2_div_d = -sqrt(h_x2_div_d)/hypot_f(x,y); // 如果是逆时针圆弧（CCW），反转 h_x2_div_d 的符号（参见下方示意图）if (gc_block.modal.motion == MOTION_MODE_CCW_ARC) { h_x2_div_d = -h_x2_div_d; } // 处理负半径情况if (gc_block.values.r < 0) { h_x2_div_d = -h_x2_div_d; gc_block.values.r = -gc_block.values.r; // 将半径取正值} // 通过计算得出圆弧的实际中心坐标（完成操作）gc_block.values.ijk[axis_0] = 0.5*(x-(y*h_x2_div_d)); // 计算x轴的圆心坐标gc_block.values.ijk[axis_1] = 0.5*(y+(x*h_x2_div_d)); // 计算y轴的圆心坐标
}
圆心坐标求解图
由距离公式：
d = x 2 + y 2 \begin{align*} d = \sqrt{x^2 + y^2} \end{align*} d=x2+y2
由勾股定理：
h = r 2 − ( d 2 ) 2 = 4 r 2 − x 2 − y 2 2 \begin{align*} h &= \sqrt{r^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{4r^2 - x^2 - y^2}}{2} \end{align*} h=r2−(2d)2=24r2−x2−y2
由△ADO 和△TBC 相似：
∣ A D ∣ = y d ⋅ h ∣ D O ∣ = x d ⋅ h \begin{align*} |AD| &= \frac{y}{d} \cdot h \\[10pt] |DO| &= \frac{x}{d} \cdot h \end{align*} ∣AD∣∣DO∣=dy⋅h=dx⋅h
P(0,0)为当前位置，T(x,y)为目标位置，圆心坐标（向量推导）：
A 的坐标 ( x 2 , y 2 ) (\frac{x}{2} ,\frac{y}{2}) (2x,2y)
i = x 2 − ∣ A D ∣ = x 2 − y d ⋅ h j = y 2 + ∣ D O ∣ = y 2 + x d ⋅ h % 圆心坐标计算公式 \begin{align*} i &= \frac{x}{2}-|AD|= \frac{x}{2} - \frac{y}{d} \cdot h \\[10pt] % X轴圆心坐标（i = x/2 - (y/d)*h） j &=\frac{y}{2}+|DO|= \frac{y}{2} + \frac{x}{d} \cdot h % Y轴圆心坐标（j = y/2 + (x/d)*h） \end{align*} ij=2x−∣AD∣=2x−dy⋅h=2y+∣DO∣=2y+dx⋅h
半径有效性检查：
计算 4 r 2 − x 2 − y 2 4r^2 - x^2 - y^2 4r2−x2−y2，若为负说明半径太小（无法通过两点）
触发错误条件： r < d 2 r < \frac{d}{2} r<2d（即半径小于两点距离的一半）
2.半径向量计算
调用mc_arc()函数进行半径向量计算
float center_axis0 = position[axis_0] + offset[axis_0];
float center_axis1 = position[axis_1] + offset[axis_1];
float r_axis0 = -offset[axis_0]; // 圆心到起点的向量
float r_axis1 = -offset[axis_1];
float rt_axis0 = target[axis_0] - center_axis0; // 圆心到终点的向量
float rt_axis1 = target[axis_1] - center_axis1;
半径坐标求解图
圆心坐标计算：
x c = x p + i y c = y p + j \begin{align*} x_c &= x_p + i \\ y_c &= y_p + j \\ \end{align*} xcyc=xp+i=yp+j
半径向量计算：
r ⃗ = ( − i , − j ) r ⃗ t = ( x t − x c , y t − y c ) \begin{align*} \vec{r} &= (-i, -j) \\ \vec{r}_t &= (x_t - x_c, y_t - y_c) \end{align*} rrt=(−i,−j)=(xt−xc,yt−yc)
3.角度行程计算
求解angular_travel的大小，即圆心指向起点向量与圆心指向终点向量间的夹角
float angular_travel = atan2(r_axis0*rt_axis1 - r_axis1*rt_axis0, r_axis0*rt_axis0 + r_axis1*rt_axis1);
if (is_clockwise_arc) { if (angular_travel >= -EPSILON) angular_travel -= 2*M_PI; // 顺时针补全负角度
} else {if (angular_travel <= EPSILON) angular_travel += 2*M_PI; // 逆时针补全正角度
}
角度行程求解图
反正切函数的加减法公式：
arctan A + arctan B = arctan ( A + B 1 − A B ) arctan A − arctan B = arctan ( A − B 1 + A B ) \begin{align*} \arctan A + \arctan B &= \arctan\left(\frac{A+B}{1-AB}\right) \\ \arctan A - \arctan B &= \arctan\left(\frac{A-B}{1+AB}\right) \end{align*} arctanA+arctanBarctanA−arctanB=arctan(1−ABA+B)=arctan(1+ABA−B)
给定两点：
A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) A(x_0,y_0), \quad B(x_1,y_1) A(x0,y0),B(x1,y1)
它们的极角分别为：
∠ A = arctan ( y 0 x 0 ) , ∠ B = arctan ( y 1 x 1 ) \angle A = \arctan\left(\frac{y_0}{x_0}\right), \quad \angle B = \arctan\left(\frac{y_1}{x_1}\right) ∠A=arctan(x0y0),∠B=arctan(x1y1)
根据反正切减法公式，两角之差为：
∠ B − ∠ A = arctan ( y 1 x 1 ) − arctan ( y 0 x 0 ) = arctan ( y 1 x 1 − y 0 x 0 1 + y 1 x 1 ⋅ y 0 x 0 ) （应用反正切减法公式） = arctan ( x 0 y 1 − x 1 y 0 x 0 x 1 + y 0 y 1 ) （分子分母同乘 x 0 x 1 ） \begin{align*} \angle B - \angle A &= \arctan\left(\frac{y_1}{x_1}\right) - \arctan\left(\frac{y_0}{x_0}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{\frac{y_1}{x_1} - \frac{y_0}{x_0}}{1 + \frac{y_1}{x_1} \cdot \frac{y_0}{x_0}}\right) \quad \text{（应用反正切减法公式）} \\ &= \arctan\left(\frac{x_0 y_1 - x_1 y_0}{x_0 x_1 + y_0 y_1}\right) \quad \text{（分子分母同乘 $x_0 x_1$）} \end{align*} ∠B−∠A=arctan(x1y1)−arctan(x0y0)=arctan(1+x1y1⋅x0y0x1y1−x0y0)（应用反正切减法公式）=arctan(x0x1+y0y1x0y1−x1y0)（分子分母同乘 x0x1）
4.分段数计算（几何逼近）
将圆弧插补成足够多的小线段，arc_tolerance为圆弧上任意两点连接而成的小线段到圆弧的最大距离arc_tolerance越小，则圆弧微分成的小线段越多，插补精度也越高。
uint16_t segments = floor(fabs(0.5 * angular_travel * radius) / sqrt(settings.arc_tolerance * (2 * radius - settings.arc_tolerance));
数学推导图
弦高误差 at（即 arc_tolerance）与 半弦长 k 的关系：
k = r 2 − ( r − a t ) 2 = a t ( 2 r − a t ) \begin{align*} k &= \sqrt{r^2 - (r - at)^2 }= \sqrt{at(2r - at)} \\ \end{align*} k=r2−(r−at)2=at(2r−at)
总弧长 arc 和分段数 s 的关系：
a r c = r ⋅ ∣ θ ∣ s = a r c 2 k \begin{align*} arc&=r\cdot |\theta| \\ s&=\frac{arc}{2k} \\ \end{align*} arcs=r⋅∣θ∣=2karc
代入后得到
s = a r c 2 k = 0.5 ∣ θ ∣ ⋅ r a t ( 2 r − a t ) \begin{align*} s &= \frac{a r c}{2 k} = \frac{0.5 |\theta| \cdot r}{\sqrt{at(2r - at)}} \\ \end{align*} s=2karc=at(2r−at)0.5∣θ∣⋅r
5.小角度近似优化（泰勒展开）
三角函数的泰勒展开
float theta_per_segment = angular_travel/segments;//每个线段对应的圆心角
// axis_linear，除了圆弧平面之外的第三个轴，即与圆弧平面垂直的轴
float linear_per_segment = (target[axis_linear] - position[axis_linear])/segments;
float cos_T = 2.0 - theta_per_segment * theta_per_segment; // 2 - θ²
// θ*(1 - θ²/6) (sin的三阶泰勒近似)
float sin_T = theta_per_segment * 0.16666667 * (cos_T + 4.0);
cos_T *= 0.5; // → 1 - θ²/2 (cos的二阶泰勒近似)
数学推导图
每个线段对应的圆心角:
θ p = θ n s \begin{align*} \theta_p &= \frac{\theta_n}{s} \end{align*} θp=sθn
泰勒展开式：
s i n x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) c o s x = 1 − x 2 2 ! + o ( x 2 ) \begin{align*} sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \\ cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^2) \end{align*} sinxcosx=x−3!x3+o(x3)=1−2!x2+o(x2)
cosx 公式取前两项,sinx 公式取前三项得：
cos θ p ≈ 1 − θ p 2 2 sin θ p ≈ θ p − θ p 3 6 ≈ 1 6 ⋅ θ p ⋅ ( 2 − θ p 2 + 4 ) \begin{align*} \cos\theta_p &\approx 1 - \frac{\theta_p^2}{2} \\ \sin\theta_p &\approx \theta_p - \frac{\theta_p^3}{6} \approx \frac{1}{6}\cdot\theta_p \cdot(2 - \theta_p^2 +4) \end{align*} cosθpsinθp≈1−2θp2≈θp−6θp3≈61⋅θp⋅(2−θp2+4)
6.位置计算
通过混合近似与精确计算来优化圆弧插补的精度和效率：快速近似法（旋转矩阵增量更新，40μs/次）用于多数计算，而高精度修正（直接三角函数计算，375μs/次）每隔N_ARC_CORRECTION次执行一次，既避免累积误差，又维持整体速度；对于微小圆弧（分段数少），仅用近似计算也能保证误差可控，实现速度与精度的最佳平衡。
float sin_Ti; // 临时存储当前角度的正弦值
float cos_Ti; // 临时存储当前角度的余弦值
float r_axisi; // 旋转后的临时半径向量（用于中间计算）
uint16_t i; // 循环计数器
uint8_t count = 0; // 圆弧修正计数器（控制修正频率）for (i = 1; i < segments; i++) { // 遍历每个线段（共 segments-1 次）// 如果未达到修正间隔（N_ARC_CORRECTION），使用增量旋转矩阵近似计算if (count < N_ARC_CORRECTION) {// 应用旋转矩阵更新半径向量（约 40 微秒/次）r_axisi = r_axis0 * sin_T + r_axis1 * cos_T; // 计算旋转后的新半径分量r_axis0 = r_axis0 * cos_T - r_axis1 * sin_T; // 更新x轴半径分量r_axis1 = r_axisi; // 更新y轴半径分量count++; // 递增修正计数器} // 达到修正间隔时，进行精确的圆弧半径修正（约 375 微秒/次）else {// 通过初始半径向量（=-offset）和变换矩阵计算精确位置cos_Ti = cos(i * theta_per_segment); // 计算当前角度的余弦sin_Ti = sin(i * theta_per_segment); // 计算当前角度的正弦r_axis0 = -offset[axis_0] * cos_Ti + offset[axis_1] * sin_Ti; //精确计算x轴半径分量r_axis1 = -offset[axis_0] * sin_Ti - offset[axis_1] * cos_Ti; //精确计算y轴半径分量count = 0; // 重置修正计数器}// 更新圆弧目标位置坐标position[axis_0] = center_axis0 + r_axis0; // x轴坐标 = 圆心坐标 + x半径分量position[axis_1] = center_axis1 + r_axis1; // y轴坐标 = 圆心坐标 + y半径分量position[axis_linear] += linear_per_segment; // 线性轴（如Z轴）按分段增量移动
}
快速近似法：
通过叠加半径分量得到当前点坐标:
P 0 = { r cos φ = r _ a x i s 0 r sin φ = r _ a x i s 1 \begin{align*} P_0 &= \begin{cases} r \cos \varphi = \mathrm{r\_axis}_0 \\ r \sin \varphi = \mathrm{r\_axis}_1 \end{cases} \\ \end{align*} P0={rcosφ=r_axis0rsinφ=r_axis1
P 1 = { r cos ( φ + θ p ) = r cos φ cos θ p − r sin φ sin θ p = r _ a x i s 0 ⋅ cos θ p − r _ a x i s 1 ⋅ sin θ p r sin ( φ + θ p ) = r sin φ cos θ p + r cos φ sin θ p = r _ a x i s 1 ⋅ cos θ p + r _ a x i s 0 ⋅ sin θ p \begin{align*} P_1 &= \begin{cases} r \cos (\varphi + \theta_p) = r\cos\varphi\cos\theta_p - r\sin\varphi\sin\theta_p = \mathrm{r\_axis}_0 \cdot \cos \theta_p - \mathrm{r\_axis}_1 \cdot \sin \theta_p \\ r \sin (\varphi + \theta_p) = r\sin\varphi\cos\theta_p + r\cos\varphi\sin\theta_p = \mathrm{r\_axis}_1 \cdot \cos \theta_p + \mathrm{r\_axis}_0 \cdot \sin \theta_p \end{cases} \end{align*} P1={rcos(φ+θp)=rcosφcosθp−rsinφsinθp=r_axis0⋅cosθp−r_axis1⋅sinθprsin(φ+θp)=rsinφcosθp+rcosφsinθp=r_axis1⋅cosθp+r_axis0⋅sinθp
P 2 = { r cos ( φ 1 + θ p ) = r cos φ 1 cos θ p − r sin φ 1 sin θ p = r _ a x i s 0 ⋅ cos θ p − r _ a x i s 1 ⋅ sin θ p r sin ( φ 1 + θ p ) = r sin φ 1 cos θ p + r cos φ 1 sin θ p = r _ a x i s 1 ⋅ cos θ p + r _ a x i s 0 ⋅ sin θ p \begin{align*} P_2 &= \begin{cases} r \cos (\varphi_1 + \theta_p) = r\cos\varphi_1\cos\theta_p - r\sin\varphi_1\sin\theta_p = \mathrm{r\_axis}_0 \cdot \cos \theta_p - \mathrm{r\_axis}_1 \cdot \sin \theta_p \\ r \sin (\varphi_1 + \theta_p) = r\sin\varphi_1\cos\theta_p + r\cos\varphi_1\sin\theta_p = \mathrm{r\_axis}_1 \cdot \cos \theta_p + \mathrm{r\_axis}_0 \cdot \sin \theta_p \end{cases} \end{align*} P2={rcos(φ1+θp)=rcosφ1cosθp−rsinφ1sinθp=r_axis0⋅cosθp−r_axis1⋅sinθprsin(φ1+θp)=rsinφ1cosθp+rcosφ1sinθp=r_axis1⋅cosθp+r_axis0⋅sinθp
高精度修正：
每隔N_ARC_CORRECTION次执行一次，既避免累积误差，又维持整体速度
P 0 = { r cos φ = r _ axis 0 = − offset [ axis 0 ] r sin φ = r _ axis 1 = − offset [ axis 1 ] \begin{align*} P_0 &= \begin{cases} r \cos \varphi = r\_{\text{axis}0} = -\text{offset}[\text{axis}_0] \\ r \sin \varphi = r\_{\text{axis}1} = -\text{offset}[\text{axis}_1] \end{cases} \end{align*} P0={rcosφ=r_axis0=−offset[axis0]rsinφ=r_axis1=−offset[axis1]
P i = { r cos ( φ + i θ ) = r cos φ cos i θ − r sin φ sin i θ = − o f f s e t [ a x i s 0 ] ⋅ cos i θ + o f f s e t [ a x i s 1 ] ⋅ sin i θ r sin ( φ + i θ ) = r sin φ cos i θ + r cos φ sin i θ = − o f f s e t [ a x i s 1 ] ⋅ cos i θ − o f f s e t [ a x i s 0 ] ⋅ sin i θ \begin{align*} P_i &= \begin{cases} \begin{aligned} r \cos (\varphi + i\theta) &= r \cos \varphi \cos i\theta - r \sin \varphi \sin i\theta \\ &= -\mathrm{offset}[\mathrm{axis}_0] \cdot \cos i\theta + \mathrm{offset}[\mathrm{axis}_1] \cdot \sin i\theta \\[5pt] r \sin (\varphi + i\theta) &= r \sin \varphi \cos i\theta + r \cos \varphi \sin i\theta \\ &= -\mathrm{offset}[\mathrm{axis}_1] \cdot \cos i\theta - \mathrm{offset}[\mathrm{axis}_0] \cdot \sin i\theta \end{aligned} \end{cases} \end{align*} Pi=⎩ ⎨ ⎧rcos(φ+iθ)rsin(φ+iθ)=rcosφcosiθ−rsinφsiniθ=−offset[axis0]⋅cosiθ+offset[axis1]⋅siniθ=rsinφcosiθ+rcosφsiniθ=−offset[axis1]⋅cosiθ−offset[axis0]⋅siniθ
参考文章
参考CSDN文章：grbl源码解析——圆弧插补