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P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2,\cdots A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},\cdots A_j(i\le j)$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ $(1\le N,K\le 10^5)$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$ $(1\le A_i\le 10^5)$。

输出格式

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 2
1  
2  
3  
4  
5

输出 #1

6

说明/提示

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

思路：求出前缀和 然后两重for循环枚举每一个子段是否满足要求，但超时了。 于是使用同余定理优化。

同余定理：给定两个整数A,B，当A%K==B%K时，

(A-B)%K==0

因为 A%K==R 即A=q1K+R,同样的B=q2K+R;
A-B=（q1-q2）*K那么 (A-B)%K=0

求出每个前缀和对K的余数，当余数相同时，两个前缀和相减，此子段可以整除K。当有多个余数时，排列组合公式为n(n-1)/2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;ll n;
ll k;
ll ans=0;
ll arr[100005];//存余数 
ll cnt[100000];
int main()
{cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>arr[i];arr[i]=arr[i-1]+arr[i];}for(int i=1;i<=n;i++){if(arr[i]%k==0){ans++;}cnt[arr[i]%k]++;	} for(int i=0;i<k;i++){ans+=(cnt[i]*(cnt[i]-1))/2;}cout<<ans;return 0;
}