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在我的学习中，遇到了许多需要用到滤波的场合，比如ADC采样，必然会伴随这随机干扰引起的毛刺噪声，从而需要滤波处理。所以在这里，我对我最常用的一阶低通滤波进行一个推导和总结。
目录
1.滤波器介绍
2.RC滤波电路分析
3.一阶数字低通滤波器推导（EMA滤波器）
4.滤波系数a的设计
1.滤波器介绍
电子领域的滤波器，简单理解就是可以“过滤掉”我们不需要的某个频率的波形。
💡 按内部是否有电源和有源器件，可以分为：
（1）有源滤波器：一般由集成运放和RC网络组成，由电源向集成运放提供能量。除了滤除波形以外，还能够放大特定频率的波形。
（2）无源滤波器：一般由电容、电感、电阻等无源元件构成，不具备波形放大能力，只能维持或减小输入信号的幅度。
💡也可以按幅频特性，可以分为：
（1）低通滤波器(Low Pass Filter) ：通低频阻高频
（1）高通滤波器(High Pass Filter) ：通高频阻低频
（1）带通滤波器(Band Pass Filter) ：通中频阻高、低频
（1）带阻滤波器(Band Elimination Filter) ：通高、低频阻中频
这里我们主要说一下无源RC高低通滤波器。
2.RC滤波电路分析
使用电阻和电容可以组成无源RC滤波器，如下图：
图中的R也就是电阻，这个好理解，大家从小也学习过，直流和交流电都能通过，并起阻碍作用，我们称其为阻抗R；
图中的C就是电容，仅能通过交流，并对交流起阻碍作用，我们称其为容抗，用Xc表示；
容抗的公式为：
我们可以看出，电容的阻抗Xc和电容C和输入的频率f的大小有关。
💡当以电容端电压为输出Uout时，其值为下图：
从而可知，低频的信号能够很好的通过，高频的信号反而会受到抑制，从而达到低通滤波的效果。
💡当以电阻端电压为输出Uout时，其值为下图：
可知，高频的信号能够很好的通过，低频的信号反而会受到抑制，从而达到高通滤波的效果。
🔍在这里我们对RC低通滤波进一步分析：
在控制理论中，我们可以得到RC低通滤波电路的传递函数： ，也被称为一阶惯性环节。其中τ为时间常数，τ = RC；而我们的截止频率则为 ωc = 1/τ = 1/RC。
3.一阶数字低通滤波器推导（EMA滤波器）
我们的的低通滤波是一个连续的模型，如果我们想把他用到单片机控制等数字系统中，则需要对其进行离散化，得到公式：y(k) = (1 − a) ⋅ y(k − 1) + a ⋅ x (k)，而离散化后的一阶数字低通滤波器也就是我们常说的EMA滤波器；下面我来对其公式进行推导：
在我们的一阶RC低通滤波电路中，我们的输出为Y(s)，输入为F(s)
写出开环传递函数：Y(s) = F(s)G(s)，得到：
👉Y(s) = (1/1+τs )F(s)
将其化为时域的微分方程，得到：
👉τ⋅y′+y=x
用一阶后向差分法，对其进行离散化，得到：
👉
其中，T为我们数字系统的采样周期，对上式化简整理，得到：
👉
我们令a = T/T+τ，可以的到我们一阶数字低通滤波器的表达式：
👉y(k) = (1−a) ⋅ y(k−1) + a ⋅ x (k) -----a称为滤波系数
从而可以将公式用到代码中，由数字系统迭代计算即可达到我们的滤波效果。
4.滤波系数a的设计
在很多时候，我们的滤波系数就是通过凑配和实验的方法得出，但是如果我们已经定好了系统采样时间，并有一个预期的截至频率要求，那我们该如何设计数字滤波器中的滤波系数a呢？
已知我们的ωc = 1/τ = 1/RC
而
一般情况下，f >> fc，所以：
所以已知采样频率和截至频率，就可以算出我们的滤波系数a了。
以电机控制来举例，一个永磁同步电机的额定转速为2000RPM，极对数为7，对相电流进行采样；
在额定条件下，相电流频率为f = 2000*7/60 = 233Hz，但一般会考虑更大一些的频率，我们选取截至频率fc = 400Hz。而我们的控制代码中设置的采样频率为f = 20kHz；
由此可以计算得滤波系数a = 2pi * 400/20000 = 0.1256637。
从而后续可以在这个基准上，进行调整即可。