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使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes） 的高效解法，时间复杂度为 O (n log log n)，显著优于逐个判断素数的 O (n²) 复杂度：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>int count_prime_pairs(int n) {if (n < 5) return 0; // 小于5时无孪生素数对// 创建布尔数组标记素数，初始全为true（假设都是素数）bool* is_prime = (bool*)calloc(n + 1, sizeof(bool));if (!is_prime) return -1; // 内存分配失败// 初始化：0和1不是素数，其余默认是素数for (int i = 2; i <= n; i++) is_prime[i] = true;// 埃拉托斯特尼筛法：标记非素数for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (is_prime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {is_prime[j] = false;}}}// 统计孪生素数对int count = 0;for (int p = 3; p <= n - 2; p += 2) { // 从3开始只检查奇数if (is_prime[p] && is_prime[p + 2]) {count++;}}free(is_prime); // 释放内存return count;
}int main() {int n = 10;printf("孪生素数对数量：%d\n", count_prime_pairs(n)); // 输出：2return 0;
}

核心优化点

1. 筛法求素数：

   • 一次性标记所有非素数，避免重复判断。
   • 时间复杂度 O (n log log n)，接近线性时间。

2. 内存优化：

   • 使用布尔数组替代整数数组，节省空间。
   • 动态分配内存适应不同的 n 值。

3. 奇数优化：

   • 孪生素数对中，p 和 q 必须都是奇数（除了 (3,5) 外，其他偶数不可能是素数）。
   • 循环步长设为 2，跳过偶数检查。

4. 边界处理：

   • 当 n < 5 时直接返回 0，减少不必要计算。

代码核心理解

1. bool* is_prime = (bool*)calloc(n + 1, sizeof(bool)); 的语法解释

这行代码使用了 C 语言的动态内存分配函数 calloc，其作用是在程序运行时动态分配一块连续的内存空间，并初始化为 0。具体解析如下：

• calloc 函数原型：void* calloc(size_t num_elements, size_t element_size);

  • num_elements：需要分配的元素数量（这里是 n + 1，表示从 0 到 n 的所有索引）
  • element_size：每个元素的大小（这里是 sizeof(bool)，通常为 1 字节）
  • 返回值：指向分配内存的指针（类型为 void*，需要强制转换为目标类型）

• 强制类型转换 (bool*)：将 void* 类型的指针转换为 bool* 类型，以便赋值给 is_prime 变量。

• 内存初始化：calloc 会自动将分配的内存全部初始化为 0（即每个 bool 值都为 false），这与 malloc 不同（malloc 分配的内存值是未定义的）。

2. 埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）的逻辑

埃拉托斯特尼筛法是一种高效的素数筛选算法，其核心思想是：从 2 开始，将每个素数的倍数标记为合数。具体步骤如下：

// 初始化：0和1不是素数，其余默认是素数
for (int i = 2; i <= n; i++) is_prime[i] = true;// 埃拉托斯特尼筛法：标记非素数
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (is_prime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {is_prime[j] = false;}}
}

• 初始化阶段：创建一个布尔数组 is_prime，将所有索引（2 到 n）初始化为 true，表示默认都是素数。

• 筛选阶段：

  1. 外层循环：从 2 开始遍历到 √n（因为如果一个数 n 不是素数，它一定有一个因子小于等于 √n）。
  2. 检查当前数 i：如果 is_prime[i] 仍为 true，说明 i 是素数（未被前面的步骤标记为合数）。
  3. 标记合数：将 i 的所有倍数（从 i*i 开始，因为更小的倍数已经被之前的素数标记过）标记为 false。

• 优化点：

  • 从 i*i 开始：例如，当 i=5 时，直接从 25 开始标记，因为 5*2=10、5*3=15、5*4=20 已经被 2 和 3 标记过。
  • 只遍历到 √n：超过 √n 的数的倍数已经被更小的素数标记过。

3. free(is_prime); 的作用：为什么要释放内存？

在 C 语言中，使用 malloc、calloc 或 realloc 动态分配的内存必须在不再使用时手动释放，否则会导致内存泄漏（Memory Leak）。具体原因如下：

• 内存生命周期：动态分配的内存位于堆（Heap）区，不会像栈（Stack）上的局部变量那样在函数返回时自动释放。如果不手动释放，这块内存会一直被占用，直到程序结束。

• 内存泄漏后果：反复分配内存而不释放，会导致程序占用的内存不断增长，最终耗尽系统资源，导致程序崩溃或系统变慢。

• 正确做法：

  1. 使用 calloc 分配内存。
  2. 使用完内存后（通常在不再需要该内存的地方，如函数结束前），调用 free 释放它。
  3. 将指针置为 NULL（可选），防止误操作：is_prime = NULL;

• 类比：就像借书需要归还图书馆一样，动态分配的内存也需要归还给系统，以便其他程序或本程序的其他部分可以使用。