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前言

由于先前笔者花费约一周时间将王道《数据结构》知识点大致过了一遍，圈画下来疑难知识点，有了大致的知识框架，现在的任务就是将知识点逐个理解透彻，并将leetcode刷题与课后刷题相结合。因此此后的过程中，整理的笔记不仅包含课本知识点，还包含经典课后题讲解（主要是笔者认为重要的）以及leetcode代码（用于深入理解重要知识点）。综上，复习思路为：大致过一遍知识点有个系统框架->写代码深入理解->刷题适应考试模式

经复习，我将本书大致分为四部分——第一章：绪论（主要是算法效率的度量），第二章+第三章+第四章：线性结构（包括数组、链表、栈、队列以及串），第五章+第六章：非线性结构（包括树、图），第七章+第八章：实际应用（包括顺序查找、树形查找、散列查找以及各种排序算法）。

本篇文章为第一部分，除了一些零散的概念性知识，只有一个较为重要的考点——时间复杂度分析。记住结论即可，有兴趣的同学可以自行推理（本来是想写一下的，但是太费时间了，而且估计看的人不多，所以自行推理吧）

时间复杂度分析

我们将循环分为两种类型——等差递增和等比递增（递减可以转化为递增）。常见形式如：

• 等差递增：for(int i=0;i<n;i++)
• 等比递增：for(int i=1;i<n;i*=2)

为了找出一般规律，我们接下来探究等差递增和等比递增的一般形式：

• 等差递增：for(int i=a₀;i<n;i+=d)。其中a₀为首项，d为等差
• 等比递增：for(int i=a₀;i<n;i*=q)。其中a₀为首项，q为等比

一、单层for循环

类型	时间复杂度
等差for(int i=a~0~;i< n;i+=d)	O(n)
等比for(int i=a~0~;i< n;i*=q)	O(logn)

推导过程：
（假设运行次数为t，即最后一次运行i=a_t）
1.对于等差递增，有n-d<=a_t<n，即n-d<=a₀+t * d<n，推导出(n-d-a₀)/d<=t<(n-a₀)/d，忽略常数，有时间复杂度为O(n)
2.对于等比递增，有n/q<=a_t<n，即n/q<=a₀ * q^t<n，推导出log_q(n/(q * a₀))<=t<log_q(n/a₀)，经过换底公式后忽略常数，有时间复杂度为O(logn)

二、双层for循环
首先将双层for循环分为两种类型：

• 上下变量无关：上层递增变量与下层递增变量没有直接关系。如：
  for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
• 上下变量有关：下层递增变量依赖于上层递增变量。如：
  for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<i;j++)//j的初始值为i

  同时我们将递增类型分为两种类型：
• 加法（等差递增）：for(int i=a₀;i<n;i+=d)。其中a₀为首项，d为等差
• 乘法（等比递增）：for(int i=a₀;i<n;i*=q)。其中a₀为首项，q为等比

假设两层for循环的判断条件都是n（即i<n、j<n）：

上下变量无关

第一层for循环	第二层for循环	时间复杂度
乘法	乘法	O(log2n)
乘法	加法	O(nlogn)
加法	乘法	O(nlogn)
加法	加法	O(n2)

上下变量有关

第一层for循环	第二层for循环	时间复杂度
乘法	乘法	O(log2n)
乘法	加法	O(n)
加法	乘法	O(nlogn)
加法	加法	O(n2)

仅有先乘后加的时候有区别，前者为O(nlogn)后者为O(n)——参见2022统考真题，其中便考察了这个知识点

注意：对于上下变量有关，第一层为加法，第二层为乘法的时候，最终的时间复杂度为O(logn!)，根据斯特林公式，n!≈√(2nπ)(n/e)ⁿ，取对数后化简为nlogn

至于上下for循环参数不一致，在此也不再讨论（出题概率较低）