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驻点（Stationary Points）：理解函数导数为零的关键位置
在数学分析、机器学习优化、物理建模等领域中，驻点（Stationary Points）是一个非常重要的概念。它们是函数图像中“停下来的点”，即导数为零的点，往往也是我们寻找极值（最大值、最小值）或判断函数走向变化的关键。
本文将借助图示，深入解析驻点的定义、几种类型、判断方法及其在优化中的实际应用。
什么是驻点？
如上图所示，驻点是函数导数为零的点，也就是说，在这些点上，函数的切线斜率为零，图像“平坦”下来。
数学上，如果函数 f(x) 可导，则当：
时，点 就是函数的一个驻点。
图中红色标注的两个点，就是典型的驻点，一个对应“局部极大值”，一个对应“局部极小值”。
为什么驻点重要？
驻点常常是我们寻找函数最值的起点。在优化问题中，例如我们希望最小化某个损失函数，首先就需要找到所有导数为 0 的点（即驻点），然后进一步判断这些点中哪些是真正的最小值。
此外，驻点在以下几个方面扮演重要角色：
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数学分析：寻找极值、拐点、函数走向
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机器学习：损失函数的最优解
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物理建模：平衡点、临界状态
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图形绘制：绘制函数图像的高光点
驻点 ≠ 极值点！
需要注意的是：并不是所有驻点都是极值点。
驻点分为三类：
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极大值点：例如图中左侧的红点，函数先增后减，此处为局部最高点；
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极小值点：例如图中右侧的红点，函数先减后增，为局部最低点；
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拐点或鞍点：函数在此“短暂停留”但并没有达到极值，例如
在 x = 0 处就是一个鞍点。
因此，要判断一个驻点的性质，必须结合二阶导数或其他方法进一步分析。
如何判断驻点的类型？
方法一：使用二阶导数判别法：
设 ，且 f 可导两次。
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如果
，则
为局部极小值；
-
如果
，则
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如果
，需要更高阶导数或其他方法判断（如变号法）。
方法二：使用变号法：
观察导数 f'(x) 在驻点左右的符号：
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从正变负：极大值；
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从负变正：极小值；
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不变号或变号多次：鞍点或其他非极值驻点。
驻点在机器学习中的应用
驻点在机器学习优化中是核心概念之一，尤其是在使用梯度下降（Gradient Descent）等算法时：
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每一步更新模型参数，就是沿着梯度方向“逼近”导数为零的驻点；
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驻点可能是目标函数的局部最小值，也可能是全局最小值或鞍点；
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深度学习中的“鞍点困境”即大量驻点并不是极小值，使训练陷入停滞。
图示讲解
图中简洁地展示了一个典型函数曲线，两个红点即为导数为零的驻点：
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左侧红点：局部极大值（导数从正变负）
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右侧红点：局部极小值（导数从负变正）
总结
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 定义 | 函数导数为零的点 f'(x) = 0 |
| 判断方法 | 二阶导数法、变号法 |
| 类型 | 极大值、极小值、鞍点 |
| 应用 | 函数极值、机器学习优化、物理建模等 |
小结一句话
驻点，是函数“暂时停止变化”的位置，是通向极值与最优解的必经之地。