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回到泽塔函数，只需要令，

所以，很容易就能得到，

特别的，对于0的情况，

结果就是真0。所以，综合各种情况，

最后让我们看看泽塔函数本身，

首先看，

的时候，

已知对数函数，

其导函数为，

自变量无限项求和指数的情况，

其导函数为，

令，

就得到了，

也就是说，

令，

两边取对数，

对 求（偏）导，

这种形式在，

时成立，所以用1替换 ，

得到，

用语言描述，

的意思就是：各阶虚数单位的全乘积。因为它是任意虚数单位的约数，所以它可以称为全能虚数单位，或者基本虚数单位。不难发现，这个结构和虚数单位的自然对数指数形式是相似的，

所以它就是对于任何周期都成立的 。