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目录

1.背包问题概述

2.01背包模板问题（牛客网）

3.分割等和子集

4.目标和

5.最后一块石头的重量 ||

6.01背包问题总结

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1.背包问题概述

背包问题是什么？

假设你有一个背包，挑选一些物品放入背包中，提问最大能挑出来的价值是多少

物品、背包都有其属性，例如重量、大小还有价值……

0-1背包问题：每个物品限制只有1个

完全背包问题：每个物品有无穷多个

背包有不必装满、必须装满2种情况

2.01背包模板问题（牛客网）

第一问是说背包没装满或装满的情况下，至多能拿多少价值的物品

第二问是说背包必须装满的情况下，至多能拿多少价值的物品。如果无法装满，就输出0（2问都是基于0-1背包问题提出，即每个物品只有1个）

  

问题1解答：

1.状态表示（经验+题目要求）：

鉴于该题有体积作为限制条件，因此我们最好用一个二维数组来表示状态。

dp[i][j]表示：从前 i 个物品中选，总体积不超过j（不超过说明可以呈现小于等于关系），所有选法中，能挑出来的最大价值（如此就能物品的价值、体积都考虑到了）

2.状态转移方程（根据最后一步的状况，分情况讨论得出）：

假设到了第i个物品，不选i物品时那就是从[1,i-1]范围中找到最大值，恰好就是dp[i-1][j]；若选择了i物品作为答案中的一部分，则先得保证 j  >= V[i]，要不然书包装不下这么大体积的物品（例如选到i物品时要求体积不能超过4（j = 4），i 物品的体积为5（V[i] = 5），这种情况下因为装不下所以可以跳过了）；因为需要给i物品预留下V[i]的背包空间，因此在[1,i-1]范围内，最多只能使用 j - V[i] 的空间（即总体积最多不能超过j - V[i]），因此最后dp[i][j] = dp[i-1][j-V[i]] + W[i]（该物品的价值）；此处需要注意的是：j 是动态的，即逐渐变大，需要把一整行所有的数组全部遍历一遍（即用j的背包大小装某个可能没有j大的元素且 “j<=V（背包大小）” ，即使装完还有非常大的背包体积浪费掉照装不误），动态规划的代码会帮助我们找到最好的情况；并且还需要比较硬要装包的情况还有再装一个物品哪一个更好（就比如用10体积装了个体积为8、价值为100的物品；即使换成2个体积为5的、价值分别为25的物品，但显然也是前者更好），即max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V[i]]+w[i])

3.dp方程初始化：

在状态转移方程中，会用到 i - 1，为防止数组越界，所以需要加一行；列的属性都是物品大小，物品大小不可能出现0，只会是在[1,V]范围内，所以可以加一列来加强代码可读性。加的行与列初始化都是0，即没有选取任何物品放到背包。

4.填表顺序：

如上图所示，因此是从上往下、从左往右即可

5.返回值：

在n个物品中选取，总体积不能超过背包大小V，这种情况下得到的即为最优解，因此返回dp[n][V]

以示例1为例，下图清晰表现了示例1的整个运行过程

问题2解答：

1.状态表示：

vp[i][j]表示：从前i个物品中去选，总体积正好等于j，所有选法中，能挑选出来的最大价值

2.状态转移方程：

我们把 vp[i][j] == -1作为该种选法不可行的判断，那么为什么不能把 vp[i][j] == 0作为该选法不可行呢？如上图（示例1情况