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1. 伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli Distribution），又称“0-1分布”或“两点分布”，是最简单的离散概率分布。它用来描述一次只有两种可能结果的试验（通常称为“成功”与“失败”）的结果。

1.1定义

• 随机变量取值：
  设随机变量$X$表示一次试验的结果，则通常取值为：
  $$X=\{\begin{array}{ll}1,& \text{表示成功（例如“正面”、“合格”等） }\\ 0,& \text{表示失败（例如“反面”、“不合格”）}\end{array}$$

• 参数：
  成功的概率记为 $p$（其中 $0\le p\le 10$ ），失败的概率则为 $1-p$。

1.2概率质量函数

伯努利分布的概率质量函数（pmf）为
$$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k}，k=0,1$$
这表示当 $k=1$ 时概率为 $p$，当$k=0$时概率为$1-p$。

1.3数学期望与方差

• 数学期望：
  $$E[X]=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$$

• 方差：
  $$Var(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2=p-p^2=p(1-p)$$

1.4应用示例

• 抛硬币：若认为正面为成功$(X=1)$且正反面概率均为0.5，则 $X\sim Bern(0.5)$。
• 产品质量检测：某产品检验时合格（成功）的概率为 $p$，不合格（失败）的概率为 $1-p$。

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2. 二项分布

二项分布（Binomial Distribution）描述的是在进行 $n$次独立的伯努利试验时，成功次数的分布情况。当我们把每一次伯努利试验的结果相加时，就得到了二项分布。

2.1定义

设$X$表示 $n$次独立伯努利试验中成功的次数，且每次试验的成功概率均为 $p$，则$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，记为
$$X\sim B(n,p)$$

2.1概率质量函数

二项分布的概率质量函数为
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$
其中 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 表示从 $n$ 次试验中选择 $k$次成功的组合数。

2.2数学期望与方差

• 数学期望：
  $$E[X]=np$$

• 方差：
  $$Var(X)=np(1-p)$$

2.3性质与图形

• 当 $p=0.5$ 时，二项分布关于 $np $对称；
• 当 $p\ne 0.5p$时，分布图形呈偏态；
• 随着 $n$的增加，二项分布在适当条件下可以用正态分布来近似（这正是 De Moivre–Laplace 定理的内容）。

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3. 伯努利分布与二项分布的关系

• 特殊情况：当 $n=1$ 时，二项分布
  $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{k}\right)p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$$

  与伯努利分布完全相同，即二项分布是伯努利分布的推广。

• 试验累加：二项分布可以看作是 $n$次独立伯努利试验的成功次数的和。因此，它的数学性质（如期望和方差）可以直接由各次试验的性质累加而来。

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4. 总结

• 伯努利分布主要用于描述单次只有“成功”和“失败”两种结果的随机试验，其参数为成功的概率 $p$。

• 二项分布则描述了多次独立伯努利试验中成功的次数，其概率质量函数为
  $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$
  并具有期望 $np$ 和方差$np(1-p)$。

• 从概念上看，二项分布是对 $n$次伯努利试验结果的综合描述，当 $n=1$ 时，二项分布即退化为伯努利分布。