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柯西序列（Cauchy sequence）是数学分析中的一个重要概念，以下为你深入讲解：
定义
在度量空间 ( M , d ) (M, d) (M,d)中，一个序列 { x n } \{x_n\} {xn}被称为柯西序列，如果对于任意给定的正实数 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，存在一个正整数 N N N，使得对于所有的整数 m , n > N m, n > N m,n>N，都有 d ( x m , x n ) < ϵ d(x_m, x_n) < \epsilon d(xm,xn)<ϵ。直观地说，就是随着序列项数的增加，序列中元素之间的距离会越来越小，最终可以任意小。
例如，在实数空间中，序列