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引入
基本介绍
例题1
题目描述：
分析1
同余原理
代码1
分析2
1. 初始化 cnt[0] = 1 的原因
2. 遍历时实时统计的逻辑
代码2：
例题2
问题描述：
思路1分析
思路1代码：
思路2分析：
代码2
二维前缀和
问题1：
问题描述：
数据范围：
分析：
1.考虑最直观的暴力解法（❌）
2. 优化
3. 前缀和
二维前缀和（进阶前缀和）
4. 那我们了解过二位前缀和之后顺理成章可以在这个题里应用
1. 建立价值地图
步骤2. 计算二维前缀和
步骤3. 计算任意正方形区域的和
下面让我们——处理一些容易出错的地方，并给出代码
1. 处理坐标偏移
2. 计算前缀和
3. 遍历所有可能的正方形
代码：
总结
一、核心思想
二、典型应用场景
三、一些小tips
四、代码实现要点
五、最后总结
引入
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
观察上面的要求，输入一个长度为n的整数序列，根据输入的询问，输出从第l个数到第r个数的和。
如果遍历后一个一个加，在数据很大的情况下，会超时。
那么怎么做才可以简化代码呢？
——用前缀和
基本介绍
前缀和，这三个字，顾名思义表示是一个和，并且是某段序列的前缀的和。
我们回到上一个题，如果我们提前知道第1个数到l-1个数的和，还有第1个数到第r个数的和，那么它们相减是不是可以直接得出结果，这个时间复杂度就是O(N)了；
那么如何得出从第一个数到某个数的和呢？（也就是前缀和的具体做法）
先定义一个数组s[N],s[i]表示从第一个数字到第i个数字的和。
我们输入一段长度为n的序列，如果是一个个输入的，那么每输入一个就加到s[i]上，并且s[i]还需要加上s[i-1]
则代码为：
s[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{cin>>a[i];s[i]=a[i]+s[i-1];
}⭐前缀和有个很重要的部分： 由于s[i]需要去加上s[i-1]。为了使数组不访问到未知区域，所以s[i]中的i都需要从1开始，如果输入的a[i]输入必须要从0开始，那么代码就需要变成s[i+1]=a[i]+s[i]
🆗
现在基本了解了前缀和的思路，那么先做个例题来写一下吧
例题1
题目描述：
分析1
在题目中可看出来，它要求计算Ai到Aj的和是否是K倍的，
那根据上面介绍的前缀和思想，我们很容易能想出做题方法。
首先定义两个数组长度为N的最大值（100010）多一个10，这样比较保险。
一个数组是用于存储长度为n的数组a[N]，一个存储前缀和s[N].
⭐注意，我们定义完后，需要明晰前缀和数组s[i]表示的是什么意思——s[i]表示从1开始到第i个元素的总和。
求出s[i]数组后，我们现在需要解决输出问题——我们需要输出区间内的和为K倍的区间数量。
很容易的能想到for循环嵌套，去一一遍历，但由于数据范围是10的5次方，n的平方的时间复杂度显然是过不去的。所以需要另寻方法
这里引入一个数学上的（同余原理）
同余原理
如果想让（s[i]-s[j-1]被k整除，等同于，s[i]取余k等于s[j-1]取余k。
那么为了方便，我们在输入a[i]数组，给s[i]赋值的同时，直接取余k，
那这时候可能会有人疑惑了，取余k之后，去判断前缀和数组的两个数是否相等不还是需要两个for循环嵌套吗？
这里就需要借用另一个数组来实现了，我们定义一个st[N]数组，
它表示 s数组中取余k后结果相同的 数量
表示形式为——st[s[i]]，这个就可以表示与s[i]取余k相等的数量
⭐注意，1个数也可以当数组，所以不用去掉s[i]本身的数量
而取余0也就是st[0]表示：前缀和取模后余数为 0 的次数。每个余数为 0 的前缀和本身对应一个 从起点到当前位置的区间，这些区间的和本身就是 K 的倍数。
而且st[s[i]]，它最终要算的次数是从这个结果里面，拿出两个数作为区间端点，也就是C(m,2)，从m个数任意挑选两个数字，表示为：(st[i]*(st[i]-1))/2
分析完了，现在可以写出代码了。
代码1
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
#define N 100010long long s[N],st[N];
int a;
int flag;int main()
{int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a);s[i]=(s[i-1]+a)%k;st[s[i]]++;}long long res=st[0];for(int i=0;i<k;i++)//取余结果一定不大于k{res+=st[i] * (st[i] - 1) / 2;}cout<<res<<endl;return 0;
}代码做了一些优化，把数组变为了一个int变量，输入这个数的时候同时计算s[i]和st[i]的值，注意数值范围数组是long long 。
分析2
或者可以借用另一种方法，把st[0]设置为1，然后每次算完s[i]之后，就加上st[s[i]]，再让st[s[i]]加加。
这个思路是怎么想的呢？
利用前缀和的同余性质，动态维护余数出现次数，并实时统计所有可能的有效区间
1. 初始化 cnt[0] = 1 的原因
虚拟前缀和：引入一个不存在的
s[0] = 0（对应空数组的和）。
- 作用：当某个实际前缀和
s[i] ≡ 0 (mod K)时，区间[1, i]的和自动满足s[i] - s[0] ≡ 0 (mod K)，即该区间有效。- 示例：若
A = [3]，K = 3，则s[1] = 0，此时s[1] - s[0] = 0，区间[1,1]有效。避免漏算：如果没有这个虚拟的
s[0]，当s[i] ≡ 0时，无法统计从数组开头到i的区间。
2. 遍历时实时统计的逻辑
操作步骤：
对每个i（从 1 到 N）：
- 计算
s[i] = (s[i-1] + A[i]) % K。- 立即将
cnt[s[i]]累加到结果：当前
s[i]的余数为r，之前所有余数为r的前缀和（即cnt[r]次）均可与当前s[i]形成有效区间。
3. 再更新cnt[s[i]]：将当前余数r的计数加 1，供后续前缀和匹配。动态维护的直观解释：
- 统计的是历史匹配次数：每次处理
s[i]时，cnt[r]表示在i之前，余数为r的前缀和已经出现的次数。- 组合数的实时计算：每个新余数
r贡献cnt[r]个新区间，最终所有余数r的总贡献为Σ cnt[r] * (cnt[r]-1)/2（但通过动态累加避免了显式计算组合数）。
假如s[1]是1，而s[2]也是1，第一次的时候由于s[1]无法和别人组成区间，所以res+=0;而当到s[2]时，由于此时cnt[1]加加过了，所以为1，res+=1;表示1，2组成一个区间。
也就是位置2到位置2的和属于是K倍区间的情况。
代码2：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
#define N 100010long long s[N],st[N];
int a;
int flag;int main()
{int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);st[0]=1;//这样从头开始到第i个位置的这种情况就不会被漏掉。//它表示s[i]=0，也就是这个和本身就是K倍。for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a);s[i]=(s[i-1]+a)%k;res+=st[s[i]];st[s[i]]++;}cout<<res<<endl;return 0;
}例题2
问题描述：
思路1分析
分析一下这个题目，有三个数组A、B、C，他们长度为N，问有多少三人组，是第一个数组A是最小的，第二个数组B大小属于中间，第三个数组C是最大的。
很好想到的思路是遍历三个数组，嵌套3个for循环，但是我们看一下数据范围：
显而易见超时了，10的5次方只允许有一次for循环，那么如何优化才可以不超时输出正确结果呢？
既然只能支持一次for循环，那么如果只能挑选一个数组去循环的话，选哪个呢？
选A和C的话，把最大或者最小的先定下来，但是另外两个仍然属于不固定的状态
那么遍历B，遍历这个大小处于中间的值，从A中选择大小小于B的，从C中选择大小大于C的，
显而易见可以用二分，先排序好数组A和C，然后遍历B，利用二分求出A中小于B的，以及C中大于B的。A中小于B的乘以C中大于B的，再把所有结果相加即可。
既然按照这个思路分析完了，那么下面就是展示代码了：
思路1代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N=10e5+10;
int a[N],b[N],c[N];
int n;int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&b[i]);}for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&c[i]);}sort(a,a+n);sort(c,c+n);long long res=0;for(int i=0;i<n;i++){int l=-1;int r=n;while((l+1)!=r){int mid=l+r>>1;if(a[mid]<b[i])l=mid;else r=mid;}int p=l+1;//l从0开始的l=-1; r=n;while((l+1)!=r){int mid=l+r>>1;if(c[mid]<=b[i])l=mid;else r=mid;}int q=n-l-1;res+=(long long)p*q;//cout<<p<<" "<<q<<endl;}cout<<res<<endl;return 0;
}思路2分析：
那么有什么更简便的方法吗？
YES，回归正题，这题可以用前缀和。
注意：前缀和只是个思想，不要把它禁锢在只能计算数组里的一段数字的和的情况。
这个题的前缀和就不是很好想了，那么开始分析一下该如何优化吧
根据之前的思路，已知B[j],我们需要求出小于B[j]的所有A[i]和C[i]，假设我们用一个数组存储小于B[j]的数量，但是要提前将数组A中所有元素出现的次数存入一个哈希表中，
最后即可以快速查找小于B[i]的所有元素的总数——只需要在枚举之前先将求出这个哈希表中各数的前缀和。
显而易见，需要两个数组，（对于A而言）
那么一共需要四个数组。
cnt[N]和s[N]，
cnt[i]代表等于i的数有多少个？
s[i]表示从等于1到i的总共数量。——》如果所以如果要求小于B[i]的数量，只需要知道s[i-1]即可。
理论成立，下面开始实施
代码2
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N=10e5+10;
int a[N],b[N],c[N];
int n;long long cnt1[N],cnt2[N];
long long s1[N],s2[N];void sr(int *p,long long *cnt)
{for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&p[i]);p[i]++;cnt[p[i]]++;//由于p[i]从0开始计数，而且有i-1的情况，所以为了不存在-1越界数组的情况，范围变成1到10的5次方+1}
}int main()
{scanf("%d",&n);sr(a,cnt1);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&b[i]);b[i]++;}sr(c,cnt2);long long res=0;for(int i=1;i<=N;i++){s1[i]=cnt1[i]+s1[i-1];//cnt表示等于i的数的次数，s表示从1到i，等于其中任何一个数的次数和s2[i]=cnt2[i]+s2[i-1];}for(int i=0;i<n;i++){res+=s1[b[i]-1]*(s2[N]-s2[b[i]]);}cout<<res<<endl;return 0;
}其中体现了一个非常重要的有关前缀和的东西——当数组元素的大小从0开始时，如果需要数组元素作为下标的话，需要偏移——》因为前缀和需要使用加上s[i-1]，如果从0开始，就需要访问越界部分。
当然记得更改所有的相关数组。如果你在这个代码里忘记b[i]++，那么会无法得出正确答案的。
二维前缀和
刚才的所有问题都是一维层面的，现在需要去解决二维方面的前缀和
问题1：
问题描述：
数据范围：
分析：
我们需要找出一个 R×R的正方形区域，这个区域的边必须和坐标轴平行，使得这个区域内所有目标点的价值总和最大。目标点可能有多个出现在同一坐标位置。
1.考虑最直观的暴力解法（❌）
看完题目后很可能会想到这样的解法：
-
首先遍历地图上的每个可能位置作为正方形的左上角
-
对于每个位置，计算这个正方形内所有点的价值之和
-
记录最大值
按照最大值来计算——假设地图范围是5000×5000，正方形边长是R=5000。那么需要计算的次数是：
-
外层循环次数：(5000 - R + 1) × (5000 - R + 1) ≈ 2500万次
-
内层每次计算需要遍历R×R次（假设R=5000，就是2500万次）
总计算量达到 2500万 × 2500万 = 62.5万亿次！显而易见超时了。
2. 优化
我们需要找到一种方法，能够 快速计算任意矩形区域的和，而不是每次都重新遍历去暴力求解。这时，"前缀和"的概念就派上用场了。
3. 前缀和
说到前缀和，我们来回顾一下一维前缀和的一般使用方法
-
一般情况下，
S[i]通常表示前i个元素的和（从第1个到第i个），但是就如上面的第二题一样，不一定是这个含义，要根据题目意思来分析。 -
计算区间
[a,b]的和：S[b] - S[a-1]
二维前缀和（进阶前缀和）
现在问题扩展到二维。想象一个网格地图，每个格子有一个价值：
目标：快速计算任意矩形区域的和。例如下图中红色区域的和：
定义二维前缀和：
-
S[i][j]表示从左上角(1,1)到(i,j)形成的矩形区域的总和
计算区域和公式：
要计算区域[x1,y1]到[x2,y2]的和：
sum = S[x2][y2] - S[x1-1][y2] - S[x2][y1-1] + S[x1-1][y1-1]
（⭐记得最后要加上被减了两次的左上角区域）
4. 那我们了解过二位前缀和之后顺理成章可以在这个题里应用
1. 建立价值地图
-
创建一个二维数组
g[][]，其中g[x][y]表示坐标(x,y)处所有目标点的价值总和（可能有多个目标点在此处） -
将输入的坐标转换为数组索引（注意题目中坐标从0开始，但通常处理时会让数组索引从1开始，避免边界问题）
示例：
假设输入三个目标点.
(0,0) 价值5 (1,1) 价值3 (1,1) 价值2
则：
-
g[1][1] = 5（坐标(0,0) → 数组索引(1,1)） -
g[2][2] = 3+2=5（坐标(1,1) → 数组索引(2,2)）
步骤2. 计算二维前缀和
根据定义，计算每个S[i][j]：
S[i][j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1] + g[i][j]
（当前格子的前缀和 = 上方前缀和 + 左方前缀和 - 左上角前缀和 + 当前价值）
步骤3. 计算任意正方形区域的和
假设炸弹覆盖的右下角在(i,j)，边长为R，则这个正方形的左上角是(i-R+1, j-R+1)。区域和为：
sum = S[i][j] - S[i-R][j] - S[i][j-R] + S[i-R][j-R]
示例：
假设R=2，计算以(3,3)为右下角的2×2区域和：
sum = S[3][3] - S[1][3] - S[3][1] + S[1][1]
下面让我们——处理一些容易出错的地方，并给出代码
1. 处理坐标偏移
int x,y,w; cin >> x >> y >> w; x++; y++; // 将坐标转换为1-based索引 g[x][y] += w; // 累加同一位置的价值
-
原题坐标范围是0~5000 → 转换为1~5001，避免处理负数索引
2. 计算前缀和
for(int i=1; i<=a; i++)for(int j=1; j<=b; j++)s[i][j] += s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
-
这里
s数组既存储原始价值，又存储前缀和（节省内存）
3. 遍历所有可能的正方形
for(int i=r; i<=a; i++)for(int j=r; j<=b; j++)res = max(res, s[i][j] - s[i-r][j] - s[i][j-r] + s[i-r][j-r]);
-
枚举正方形的右下角坐标
(i,j) -
通过前缀和公式快速计算区域和
代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;const int N=5010;int a,b;
int s[N][N];//原数组，后面可以变成二维数组存储前缀和int main()
{int n,r;cin>>n>>r;r=min(5001,r);a=b=r;while(n--){int x,y,w;cin>>x>>y>>w;x++;y++;a=max(a,x);b=max(b,y);s[x][y]+=w;}for(int i=1;i<=a;i++){for(int j=1;j<=b;j++){s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];//cout<<s[i][j]<<endl;}}int res=0;//枚举它,从右下角枚举所以初始坐标为rfor (int i = r; i <= a; i ++ ){for (int j = r; j <= b; j ++ ){res = max(res, s[i][j] - s[i - r][j] - s[i][j - r] + s[i - r][j - r]);}}cout<<res<<endl;return 0;
}
总结
前缀和思想是一种通过预处理数组来高效计算区间和的算法技巧，其核心在于通过预计算并存储前n项的和，将原本复杂的区间查询问题转化为简单的差值运算，从而大幅优化时间复杂度。以下是其详细用法总结：
一、核心思想
- 预处理数组：构建前缀和数组
sum，其中sum[i]表示原数组前i项的和。例如，原数组a[1...n]的前缀和数组满足sum[i] = sum[i-1] + a[i]，从而快速计算任意区间[l, r]的和为sum[r] - sum[l-1]。 - 优化时间复杂度：将暴力法的O(n²)或O(n³)复杂度降至O(n)预处理 + O(1)查询，适用于多次区间和查询的场景 。
二、典型应用场景
-
一维数组问题：
- 寻找中心索引：通过比较左侧前缀和与右侧（总和 - 左侧 - 当前元素）是否相等，快速定位中心索引 。
- 和为K的子数组：利用哈希表记录前缀和出现的次数，统计满足
sum[j] - sum[i] = K的子数组数量，将时间复杂度从O(n²)优化至O(n) 。 - 统计特定条件的子数组：如优美子数组（含k个奇数）、和可被K整除的子数组，结合哈希表记录前缀奇数的数量或余数分布，实现高效统计 。
-
二维矩阵问题：
- 子矩阵和计算：构建二维前缀和矩阵
s[i][j]，通过公式s[i][j] = prefixSum[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j]预处理，查询时用容斥原理计算子矩阵和 。
- 子矩阵和计算：构建二维前缀和矩阵
三、一些小tips
- 结合哈希表：在统计满足特定条件的子数组时，哈希表可存储前缀和（或余数、奇数个数等）的频率，避免双重循环遍历。例如，哈希表初始化需包含
hash[0] = 1，以处理前缀和直接等于目标值的情况 。 - 负数处理：当涉及余数计算（如和可被K整除）时，需将负数余数调整为正值。例如，
(sum % K + K) % K确保余数在[0, K-1]范围内 。 - 空间优化：无需显式构建前缀和数组时，可直接用变量累加前缀和，减少空间占用 。
- 扩展应用：前缀和思想可推广至其他运算（如异或、乘积）或变种问题（如前缀GCD、差分数组），例如统计区间异或结果或动态数组修改后的区间和 。
四、代码实现要点
- 一维前缀和模板：
for (int i=1; i<=n; ++i) {sum[i] = sum[i-1] + arr[i];}// 查询区间[l, r]的和：sum[r] - sum[l-1]
- 二维前缀和模板：
for (int i=1; i<=n; ++i) {for (int j=1; j<=m; ++j) {s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];}}
五、最后总结
前缀和思想——关键在于灵活运用预处理数据与哈希映射，同时注意边界条件与负数处理，可以用在不同的算法题场景中。