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46. 携带研究材料（第六期模拟笔试）

题目描述

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料。每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

解题思路

这是一个典型的01背包问题，我们可以使用动态规划来解决这个问题。

1. 定义状态：dp[i][j] 表示在前 i 件物品中选择，使得总体积不超过 j 的情况下，这些物品的最大价值。
2. 状态初始化：
   • dp[0][..] 表示只考虑第一件物品时，不同容量下的最大价值。
   • dp[..][0] 表示背包容量为0时，无论多少件物品，价值都是0。
3. 状态转移方程：
   • 如果当前物品的重量大于背包的剩余容量，则不能选择该物品，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
   • 如果可以选择该物品，则需要决策是选择该物品还是不选择，即 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])。
4. 最终答案：dp[n-1][bagweight] 即为最大价值。

代码实现

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int bagweight = scanner.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {weight[i] = scanner.nextInt();}for (int j = 0; j < n; ++j) {value[j] = scanner.nextInt();}int[][] dp = new int[n][bagweight + 1];for (int i = weight[0]; i <= bagweight; i++) {dp[0][i] = value[0];}for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {if (j < weight[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}System.out.println(dp[n - 1][bagweight]);}
}

解题思路

解法二是使用一维数组来优化01背包问题的动态规划解法。以下是详细的解题步骤：

1. 定义状态：使用一维数组 dp[j] 表示背包容量为 j 时的最大价值。
2. 状态初始化：初始化 dp[0] 为 0，因为背包容量为0时，价值为0。
3. 状态转移方程：对于每个物品，从背包容量大到小进行遍历，更新 dp[j] 的值。如果当前物品的重量小于等于背包的剩余容量 j，则更新 dp[j] 为 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。
4. 由于每个物品只能选择一次，所以需要从大到小遍历背包容量，以防止一个物品被重复计算。

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int bagweight = scanner.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {weight[i] = scanner.nextInt();}for (int j = 0; j < n; ++j) {value[j] = scanner.nextInt();}int[] dp = new int[bagweight + 1];for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}System.out.println(dp[bagweight]);scanner.close();}
}

416. 分割等和子集

题目描述

给定一个只包含正整数的非空数组，判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意：数组中的每个元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200。

力扣题目链接：分割等和子集

解题思路

这个问题可以转化为一个背包问题，即判断是否存在一种方式，使得从数组中选取的若干元素之和等于所有元素总和的一半。

1. 计算目标和：首先计算数组所有元素的总和，如果总和为奇数，则不可能分割成两个和相等的子集，直接返回 false。
2. 初始化动态规划数组：如果总和为偶数，则目标和为总和的一半。创建一个动态规划数组 dp，其中 dp[j] 表示背包容量为 j 时，能够装入的最大价值。
3. 动态规划填表：遍历每个元素，并更新动态规划数组。对于每个元素 nums[i]，从目标值 target 开始向下遍历到 nums[i]，更新 dp[j] 为 max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i])。
4. 判断结果：如果 dp[target] 等于 target，则说明存在一种分割方式，使得两个子集的和相等，返回 true；否则返回 false。

以下是实现该解法的代码：

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int target = 0;for(int i=0;i<nums.length;i++){target = target + nums[i];}if(target % 2 != 0) return false;target = target/2;int[] dp = new int[target+1];for(int i =0;i< nums.length;i++){for(int j=target;j>=nums[i];j--){dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}if(dp[target] == target){return true;}else {return false;}}
}