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题目解析

题目：给定一个正整数数组 nums，判断是否可以将数组分成两个和相等的子集。

等价问题：

• 计算 nums 的总和 S

• 如果 S 是奇数，直接返回 false（因为不能均分）

• 目标是找到一个子集，使得子集和等于 S / 2

• 这相当于 0-1 背包问题：是否能从 nums 中选取一些数，使其和为 S / 2

解法：动态规划

1. 状态定义

使用 一维 DP 数组 dp[j]：

• dp[j] = true 表示存在一个子集，使得该子集的和为 j

• dp[j] = false 表示不存在这样的子集

目标：判断 dp[target] 是否为 true，其中 target = S / 2

2. 递推公式

• 遍历数组 nums，对于当前元素 num

• 倒序遍历 j = target 到 num，更新 dp[j]

• dp[j] = dp[j] || dp[j - num]

• 如果 dp[j - num] 为 true，说明 j - num 可达，那么 j 也可达

• 如果 dp[j] 原本为 true，则仍为 true

3. 初始化

• dp[0] = true（空集的和为 0）

代码分析

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int s = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0); // 计算总和if (s % 2 != 0) return false; // 总和为奇数，无法均分int target = s / 2; // 目标和vector<bool> dp(target + 1, false); // DP 数组，表示是否能组成某个和dp[0] = true; // 0 直接可达for (int num : nums) { // 遍历每个数for (int j = target; j >= num; j--) { // 逆序遍历dp[j] = dp[j] || dp[j - num];}}return dp[target]; // 看 target 是否可达}
};

详细运行步骤

示例 1

输入：

nums = {1, 5, 11, 5}

计算总和：

• S = 1 + 5 + 11 + 5 = 22

• target = 22 / 2 = 11

• 需要找到一个子集和为 11

DP 过程：

初始化：

dp = [true, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false]

（下标 0 代表和为 0 可达）

遍历 1：

dp[1] = dp[1] || dp[1 - 1]  (true)

dp = [true, true, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false]

遍历 5：

dp[6] = dp[6] || dp[6 - 5] (true)
dp[5] = dp[5] || dp[5 - 5] (true)

dp = [true, true, false, false, false, true, true, false, false, false, false, false]

遍历 11：

dp[11] = dp[11] || dp[11 - 11] (true)

dp = [true, true, false, false, false, true, true, false, false, false, false, true]

最终 dp[11] = true，返回 true

案例分析

我们用一个不同的测试案例，详细跟踪 dp 数组的变化。

示例 2

输入

nums = {3, 3, 3, 4, 5}

计算总和：

• S = 3 + 3 + 3 + 4 + 5 = 18

• target = 18 / 2 = 9

• 目标是找到一个子集，使得该子集的和为 9

初始化

我们初始化 dp 数组：

dp = [true, false, false, false, false, false, false, false, false, false]

• dp[0] = true，表示和为 0 的子集是可行的（空集）

遍历每个数

遍历 3（第一个）

更新 dp[j]，从 target = 9 逆序到 num = 3

dp[3] = dp[3] || dp[3 - 3] = true

dp 变化：

dp = [true, false, false, true, false, false, false, false, false, false]

表示可以用 {3} 得到和 3

遍历 3（第二个）

dp[6] = dp[6] || dp[6 - 3] = true
dp[3] = dp[3] || dp[3 - 3] = true （已经是 true）

dp 变化：

dp = [true, false, false, true, false, false, true, false, false, false]

表示可以用 {3, 3} 得到和 6

遍历 3（第三个）

dp[9] = dp[9] || dp[9 - 3] = true
dp[6] = dp[6] || dp[6 - 3] = true （已经是 true）
dp[3] = dp[3] || dp[3 - 3] = true （已经是 true）

dp 变化：

dp = [true, false, false, true, false, false, true, false, false, true]

表示可以用 {3, 3, 3} 得到和 9 ✅ 目标达成

遍历 4

dp[9] = dp[9] || dp[9 - 4] = true （已经是 true）
dp[7] = dp[7] || dp[7 - 4] = true
dp[4] = dp[4] || dp[4 - 4] = true

dp 变化：

dp = [true, false, false, true, true, false, true, true, false, true]

表示可以用 {4} 得到和 4，可以用 {3, 4} 得到 7

遍历 5

dp[9] = dp[9] || dp[9 - 5] = true
dp[8] = dp[8] || dp[8 - 5] = true
dp[5] = dp[5] || dp[5 - 5] = true

dp 变化：

dp = [true, false, false, true, true, true, true, true, true, true]

可以用 {5} 得到 5，用 {3, 5} 得到 8

最终结果

✅ dp[9] = true，说明可以找到一个子集使得总和为 9，返回 true

完整执行过程

dp 状态	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
初始	T	F	F	F	F	F	F	F	F	F
处理 3	T	F	F	T	F	F	F	F	F	F
处理 3	T	F	F	T	F	F	T	F	F	F
处理 3	T	F	F	T	F	F	T	F	F	T
处理 4	T	F	F	T	T	F	T	T	F	T
处理 5	T	F	F	T	T	T	T	T	T	T

dp[9] = true，所以可以划分两个子集和相等。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n × target) 其中 target = S/2

• 空间复杂度：O(target) 只用了一维 dp

总结

✅ 思路：

1. 计算 S，如果 S 为奇数直接返回 false

2. 定义 dp[j]：表示能否找到一个子集，使得总和为 j

3. 遍历 nums，使用 逆序 更新 dp，确保不会重复使用数字

4. 最终 dp[target] 是否为 true，决定是否能划分

✅ 关键优化点：

• 使用 一维 DP 数组（空间优化）

• 倒序遍历 j，避免同一轮重复使用 nums[i]

✅ 时间复杂度：

• O(n × sum/2)，适用于 sum 适中的情况（sum < 10^5）

✅ 空间复杂度：

• O(sum/2)，降低空间占用