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均方根误差与均值和标准差的关系

均方根误差的定义
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均方根误差的计算方法

均方根误差又能表示误差的大小和误差的波动情况，但在定义中看不出来

好的，我们来推导一下 均方根误差（RMSE, Root Mean Square Error） 与 误差的均值（Mean Error） 和 标准差（Standard Deviation） 之间的数学关系。

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✅ 1. 定义：

设某变量的误差为：

$$e_i={\hat{x}}_i-x_i$$

其中：

• ${\hat{x}}_i$ 是估计值，
• $x_i$ 是真实值，
• $e_i$ 是误差。

一组误差 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1, e_2, \dots, e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 的：

均值（Mean Error）定义为：

$$\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{e}_i$$

标准差（Standard Deviation）定义为：

$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(e_i-\mu {)}^2}$$

均方根误差（RMSE）定义为：

$$\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{e}_i^2}$$

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✅ 2. 推导 RMSE 与均值、标准差的关系

我们将 RMSE 表达式展开为：

$${\mathrm{RMSE}}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{e}_i^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left[(e_i-\mu +\mu {)}^2\right]$$

展开平方项：

$$=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left[(e_i-\mu {)}^2+2\mu (e_i-\mu )+{\mu }^2\right]$$

注意到：

• ${\sum }_{i=1}^n(e_i-\mu )=0$，
• 所以中间项 $2\mu {\sum }_{i=1}^n(e_i-\mu )=0$

于是：

$${\mathrm{RMSE}}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(e_i-\mu {)}^2+{\mu }^2={\sigma }^2+{\mu }^2$$

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✅ 3. 最终关系式：

$$\boxed{{\mathrm{RMSE}}^2={\sigma }^2+{\mu }^2}⟹\boxed{\mathrm{RMSE}=\sqrt{{\sigma }^2+{\mu }^2}}$$

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✅ 说明：

• 如果误差均值为 0（无偏估计），则：

  $$\mathrm{RMSE}=\sigma$$

• 如果误差有偏（均值不为 0），则 RMSE 会大于标准差。

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需要我帮你用这关系来计算具体的 RMSE 或者写成 Latex 公式插入表格说明中吗？