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标签：#位运算 #树 #二分查找 #二叉树

Ⅰ. 题目

• 给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

• 完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层（从第 0 层开始），则该层包含 1~ 2^h 个节点。

Ⅱ. 示例

· 示例 1：

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

· 示例 2：
输入：root = []
输出：0

· 示例 3：
输入：root = [1]
输出：1

0. 个人方法

根据完全二叉树最后一层的结点 都集中在该层最左边的若干位置 这一特点来做文章。

1. 如果左子树和右子树的高度相同（左、右都是满的），左子树一定是一个 满二叉树，节点个数为 2^h - 1。继续递归判断右子树的左子树和右子树…；
2. 若不同，则右子树是满的，继续递归判断左子树的左子树和右子树…。

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:// 获取当前节点的左高，用于判断是否是满二叉树//（注意这是完全二叉树才可以这么写）int getHeight(TreeNode* root) {int h = 0;while (root) {h++;root = root->left;}return h;}int countNodes(TreeNode* root) {if (!root) return 0;int leftHeight = getHeight(root->left);int rightHeight = getHeight(root->right);if (leftHeight == rightHeight)return (1 << leftHeight) + countNodes(root->right);elsereturn (1 << rightHeight) + countNodes(root->left);}
};

PS：“1 << leftHeight” 表示将 1 左移 leftHeight 位，即表示 2^leftHeight（左子树的结点数为 2^leftHeight-1，根结点为 1）

• 时间复杂度分析

  • getHeight() 时间是 O(log n)（树高）；

  • 每一层递归时 getHeight 被调用两次，最多递归 log n 层；

  • 总时间复杂度为 O((log n)^2) —— 比普通 O(n) 的遍历快很多；