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[洛谷 P1226] 快速幂求模题解

📌 题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

📝 题目描述

给定正整数 a、b 和质数 p，要求计算：

a^b % p

其中：

• 1 ≤ a ≤ 10^9
• 0 ≤ b ≤ 10^9
• 2 ≤ p ≤ 10^9

💡 解题思路

1. 直接计算不可行

由于 b 的范围可达 10^9，直接计算 a^b 会导致结果过大，无法在常规数据类型中存储。因此，需要一种高效的算法来计算 a^b % p。

2. 快速幂算法

快速幂算法（Exponentiation by Squaring）是一种高效计算大整数幂模的方法。其基本思想是利用二进制分解，将指数 b 转换为二进制形式，然后通过平方和乘法的方式快速计算幂值。

快速幂的递推关系：

• 当 b 为偶数时：a^b = (a^(b/2))^2
• 当 b 为奇数时：a^b = a * (a^(b-1))

通过不断将 b 右移一位（即除以 2），并根据 b 的奇偶性决定是否乘上当前的 a，可以在对数时间内计算出结果。

3. 模运算优化

在计算过程中，每一步都对结果取模 p，以避免中间结果溢出，并确保最终结果满足题目要求。

💻 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;long long a, b, p;int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> a >> b >> p;cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=";long long ans = 1;a = a % p; // 防止 a 大于 pwhile (b) {if (b & 1) { // 如果 b 是奇数ans = ans * a % p;}a = a * a % p; // a^2 mod pb >>= 1; // b 右移一位，相当于 b /= 2}cout << ans;return 0;
}

🧩 代码解析

1. 输入处理：使用 cin 读取输入，a、b 和 p 分别表示底数、指数和模数。

2. 初始化：将 ans 初始化为 1，用于存储最终结果。为了防止中间结果过大，先对 a 取模 p。

3. 快速幂循环：

   • 当 b 不为 0 时，进入循环。
   • 如果 b 是奇数（即 b & 1 为真），则将当前的 a 乘到 ans 上，并对 p 取模。
   • 将 a 自身平方，并对 p 取模。
   • 将 b 右移一位，相当于将 b 除以 2。

4. 输出结果：输出计算结果。

⏱️ 时间复杂度分析

快速幂算法的时间复杂度为 O(log b)，其中 b 是指数。由于每次循环将 b 减半，因此循环次数为 log b。在每次循环中，进行常数次的乘法和取模操作，因此总时间复杂度为 O(log b)。

🔚 总结

通过使用快速幂算法，可以在对数时间内计算大整数的幂模，避免了直接计算可能导致的溢出问题。该算法在处理大规模数据时非常高效，是解决此类问题的常用技巧。