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排序算法不管是考试、面试、还是日常开发中都是一个特别高频的点。下面对八种排序算法做简单的介绍。

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1. 冒泡排序（Bubble Sort）

原理：相邻元素比较，每一轮将最大元素“冒泡”到末尾。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void bubbleSort(int[] arr) {for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {boolean swapped = false;for (int j = 0; j < arr.length - i - 1; j++) {if (arr[j] > arr[j + 1]) {int temp = arr[j];arr[j] = arr[j + 1];arr[j + 1] = temp;swapped = true;}}System.out.println("第 " + (i + 1) + " 轮后: " + Arrays.toString(arr));if (!swapped) break;}
}

输出：

第 1 轮后: [3, 5, 1, 2, 8]  
第 2 轮后: [3, 1, 2, 5, 8]  
第 3 轮后: [1, 2, 3, 5, 8]  
第 4 轮后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 最好情况：O(n)（已有序时一轮扫描结束）
• 最坏/平均：O(n²)（双重循环嵌套）

空间复杂度：O(1)（原地排序，仅需常数空间）

计算原理：

• 外层循环最多执行 n-1 次，内层循环每次执行 n-i-1 次
• 总比较次数 ≈ (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1)/2 → O(n²)

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2. 选择排序（Selection Sort）

原理：每轮选择最小的元素，放到已排序部分的末尾。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void selectionSort(int[] arr) {for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {int minIndex = i;for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {if (arr[j] < arr[minIndex]) minIndex = j;}int temp = arr[i];arr[i] = arr[minIndex];arr[minIndex] = temp;System.out.println("第 " + (i + 1) + " 轮后: " + Arrays.toString(arr));}
}

输出：

第 1 轮后: [1, 3, 8, 5, 2]  
第 2 轮后: [1, 2, 8, 5, 3]  
第 3 轮后: [1, 2, 3, 5, 8]  
第 4 轮后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 所有情况：O(n²)（必须完整执行双重循环）

空间复杂度：O(1)（原地交换）

计算原理：

• 外层循环 n-1 次，内层循环每次执行 n-i-1 次
• 总比较次数 = (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1)/2 → O(n²)

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3. 插入排序（Insertion Sort）

原理：将未排序元素插入已排序部分的正确位置。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void insertionSort(int[] arr) {for (int i = 1; i < arr.length; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= 0 && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j--;}arr[j + 1] = key;System.out.println("插入 " + key + " 后: " + Arrays.toString(arr));}
}

输出：

插入 3 后: [3, 5, 8, 1, 2]  
插入 8 后: [3, 5, 8, 1, 2]  
插入 1 后: [1, 3, 5, 8, 2]  
插入 2 后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 最好：O(n)（已有序时仅需线性扫描）
• 最坏/平均：O(n²)（每次插入需移动大量元素）

空间复杂度：O(1)

计算原理：

• 外层循环 n-1 次，内层循环平均移动 i/2 次
• 总操作次数 ≈ 1 + 2 + … + (n-1) = n(n-1)/2 → O(n²)

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4. 快速排序（Quick Sort）

原理：通过基准分区，递归排序左右子数组。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {if (low < high) {int pi = partition(arr, low, high);System.out.println("基准 " + arr[pi] + " 分区后: " + Arrays.toString(arr));quickSort(arr, low, pi - 1);quickSort(arr, pi + 1, high);}
}private static int partition(int[] arr, int low, int high) {int pivot = arr[high];int i = low - 1;for (int j = low; j < high; j++) {if (arr[j] < pivot) {i++;int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}}int temp = arr[i + 1];arr[i + 1] = arr[high];arr[high] = temp;return i + 1;
}

输出：

基准 2 分区后: [1, 2, 8, 5, 3]  
基准 1 分区后: [1, 2, 8, 5, 3]  
基准 3 分区后: [1, 2, 3, 5, 8]  
基准 8 分区后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 最好/平均：O(n log n)（每次分区将数组分成两半）
• 最坏：O(n²)（每次分区极不平衡，如已有序数组）

空间复杂度：O(log n)（递归调用栈的深度）

计算原理：

• 理想情况：每次分区后左右子数组大小相等，递归深度 log n，每层处理 O(n) → O(n log n)
• 最坏情况：每次分区后一个子数组为空，递归深度 n → O(n²)

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5. 归并排序（Merge Sort）

原理：分治法，将数组拆分为两半，合并有序子数组。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {if (left < right) {int mid = (left + right) / 2;mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);merge(arr, left, mid, right);System.out.println("合并后: " + Arrays.toString(arr));}
}private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {int[] temp = new int[right - left + 1];int i = left, j = mid + 1, k = 0;while (i <= mid && j <= right) {if (arr[i] <= arr[j]) temp[k++] = arr[i++];else temp[k++] = arr[j++];}while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++];while (j <= right) temp[k++] = arr[j++];System.arraycopy(temp, 0, arr, left, temp.length);
}

输出：

合并后: [3, 5, 8, 1, 2]  
合并后: [3, 5, 1, 8, 2]  
合并后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 所有情况：O(n log n)（稳定分治策略）

空间复杂度：O(n)（合并时需要临时数组）

计算原理：

• 递归树深度为 log n，每层合并总时间 O(n) → O(n log n)
• 合并操作需要额外空间存储临时数组

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6. 堆排序（Heap Sort）

原理：构建最大堆，依次将堆顶元素与末尾交换。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void heapSort(int[] arr) {int n = arr.length;for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) heapify(arr, n, i);for (int i = n - 1; i > 0; i--) {int temp = arr[0];arr[0] = arr[i];arr[i] = temp;System.out.println("交换堆顶后: " + Arrays.toString(arr));heapify(arr, i, 0);}
}private static void heapify(int[] arr, int n, int i) {int largest = i, left = 2 * i + 1, right = 2 * i + 2;if (left < n && arr[left] > arr[largest]) largest = left;if (right < n && arr[right] > arr[largest]) largest = right;if (largest != i) {int swap = arr[i];arr[i] = arr[largest];arr[largest] = swap;heapify(arr, n, largest);}
}

输出：

交换堆顶后: [5, 3, 2, 1, 8]  
交换堆顶后: [1, 3, 2, 5, 8]  
交换堆顶后: [2, 1, 3, 5, 8]  
交换堆顶后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 所有情况：O(n log n)（建堆 O(n)，每次调整堆 O(log n)）

空间复杂度：O(1)（原地排序）

计算原理：

• 建堆时间复杂度为 O(n)（非叶子节点下沉操作）
• 每次交换堆顶后调整堆需要 O(log n) 时间，共 n-1 次 → O(n log n)

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7. 希尔排序（Shell Sort）

原理：按间隔分组，逐步缩小间隔进行插入排序。
示例数组：[5, 3, 8, 1, 2]

public static void shellSort(int[] arr) {int n = arr.length;for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {for (int i = gap; i < n; i++) {int temp = arr[i], j;for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {arr[j] = arr[j - gap];}arr[j] = temp;}System.out.println("间隔 " + gap + " 排序后: " + Arrays.toString(arr));}
}

输出：

间隔 2 排序后: [5, 1, 2, 3, 8]  
间隔 1 排序后: [1, 2, 3, 5, 8]  

时间复杂度：

• 取决于间隔序列：
  • 最坏 O(n²)（如使用原始希尔序列）
  • 平均 O(n log n)（如使用Knuth序列）

空间复杂度：O(1)

计算原理：

• 通过分组减少数据移动距离
• 不同间隔序列的时间复杂度不同，例如：
  • 希尔原始序列（n/2^k）：O(n²)
  • Knuth序列（3^k-1）：O(n1.5)

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8. 基数排序（Radix Sort）

原理：按位数从低到高排序（需稳定排序辅助）。
示例数组：[170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66]

public static void radixSort(int[] arr) {int max = Arrays.stream(arr).max().getAsInt();for (int exp = 1; max / exp > 0; exp *= 10) {countingSort(arr, exp);System.out.println("按第 " + exp + " 位排序后: " + Arrays.toString(arr));}
}private static void countingSort(int[] arr, int exp) {int[] output = new int[arr.length];int[] count = new int[10];for (int num : arr) count[(num / exp) % 10]++;for (int i = 1; i < 10; i++) count[i] += count[i - 1];for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {output[count[(arr[i] / exp) % 10] - 1] = arr[i];count[(arr[i] / exp) % 10]--;}System.arraycopy(output, 0, arr, 0, arr.length);
}

输出：

按第 1 位排序后: [170, 90, 802, 2, 24, 45, 75, 66]  
按第 10 位排序后: [802, 2, 24, 45, 66, 170, 75, 90]  
按第 100 位排序后: [2, 24, 45, 66, 75, 90, 170, 802]  

时间复杂度：O(nk)（k为最大数字位数）

空间复杂度：O(n + k)（计数排序的额外空间）

计算原理：

• 对每个位数进行稳定排序（如计数排序）
• 若最大数为 d 位，则进行 d 轮排序，每轮 O(n) → 总时间 O(dn)

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总结表格

排序算法	最好时间	平均时间	最坏时间	空间复杂度	稳定性
冒泡排序	O(n)	O(n²)	O(n²)	O(1)	稳定
选择排序	O(n²)	O(n²)	O(n²)	O(1)	不稳定
插入排序	O(n)	O(n²)	O(n²)	O(1)	稳定
快速排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n²)	O(log n)	不稳定
归并排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	稳定
堆排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	不稳定
希尔排序	O(n log n)	取决于间隔	O(n²)	O(1)	不稳定
基数排序	O(nk)	O(nk)	O(nk)	O(n + k)	稳定

复杂度计算核心思想

1. 循环嵌套次数：

   • 双重循环（如冒泡、选择、插入）→ O(n²)
   • 分治法（快速、归并）→ 递归深度 log n × 每层 O(n) → O(n log n)

2. 数据移动代价：

   • 插入排序的移动次数与逆序对数量相关
   • 堆排序的调整代价与树高度 log n 相关

3. 额外空间使用：

   • 递归算法的栈空间（快速排序 O(log n)）
   • 合并排序的临时数组（O(n)）
   • 基数排序的计数数组（O(n + k)）