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管中窥豹数字预失真（DPD）

数字预失真在通信领域发挥了巨大的作用，对提高功放效率、改善误码率起了不可忽略的作用，广泛运用与通信、雷达等各种领域。但是对于普通用户，它显得及其高深神秘。今天就用这个短文，管中窥豹，权当科普。

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一、数字预失真原理

1.1 非线性失真问题

功率放大器（PA）在无线通信系统中存在非线性特性，当输入信号幅度较大时，会产生：

• 带内失真（EVM恶化）
• 带外频谱再生（ACPR指标恶化）
• 谐波分量

$$y_{PA}(n)=\sum _{k=1}^K{a}_{k}x(n)|x(n){|}^{k-1}+e(n)$$

1.2 DPD核心思想

通过在PA前级联预失真器，使得整体系统呈现线性特性：
$$x_{DPD}(n)=f^{-1}(x(n))$$
$$y_{PA}(n)=f(x_{DPD}(n))\approx G\cdot x(n)$$

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二、Volterra级数

研究预失真就躲不开神奇Volterra级数，其在预失真技术中有着举足轻重的作用。

1. Volterra级数的数学定义

Volterra级数是描述非线性时变系统的泛函级数展开，可视为泰勒级数在时域中的扩展。其核心思想是将系统输出表示为输入信号的多重积分（或离散时间的多重求和），形式为：

$$y(n)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m_1=0}^M\cdots \sum _{m_k=0}^M{h}_k(m_1,\dots ,m_k)\prod _{i=1}^{k}x(n-m_i)$$

其中：

• $h_k(m_1,\dots ,m_k)$：第$k$阶Volterra核（多维系数），描述系统对$k$阶非线性项的响应。
• $M$：记忆深度，决定系统依赖过去输入的时间范围。

简化形式（离散时间）

实际应用中常截断到有限阶数$K$和记忆深度$M$：
$$y(n)=h_0+\sum _{k=1}^K\sum _{m_1=0}^M\cdots \sum _{m_k=0}^M{h}_k(m_1,\dots ,m_k)\prod _{i=1}^{k}x(n-m_i)$$

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2. Volterra级数与泰勒级数的关键区别

特性	泰勒级数	Volterra级数
适用范围	无记忆非线性系统	含记忆效应的非线性系统
输入依赖	仅当前输入$x(n)$	当前及历史输入$x(n-m)$
数学结构	单变量多项式展开	多变量多重求和/积分
参数复杂度	$O(K)$	$O(K\cdot M^K)$（指数增长）

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3.Volterra级数在功放建模中的作用

3.1 功放的非线性与记忆效应

• 非线性失真：输出信号幅度与输入不成正比，产生谐波和交调失真。
• 记忆效应：输出不仅依赖当前输入，还与历史输入相关，主要由以下因素引起：
  • 电路中的电抗元件（电容/电感）
  • 温度漂移
  • 电源调制效应

3.2 Volterra模型的优势

1. 联合建模能力：同时捕捉非线性与记忆效应。
2. 物理可解释性：各阶核对应不同非线性阶次的动态响应。
3. 灵活性：通过调整阶数$K$和记忆深度$M$平衡精度与复杂度。

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4.Volterra级数在预失真中的应用

4.1 预失真基本原理

构建预失真器$f^{-1}(\cdot )$，使得级联系统满足：
$$f^{-1}(x(n))\to [PA]\to G\cdot x(n)$$
其中$G$为期望的线性增益。

4.2 基于Volterra的预失真实现步骤

1. 正向建模：通过测量数据辨识PA的Volterra核 { h k } \{h_k\} {hk​}。
2. 逆模型求解：求取预失真器的Volterra核 { w k } \{w_k\} {wk​}，使得：
   $$w_k\ast h_k\approx \delta (k)$$
3. 实时补偿：将输入信号通过预失真器后再送入PA。

4.3 核辨识方法

常用最小二乘法（LS）或递归最小二乘（RLS）：

# 伪代码：Volterra核辨识
def identify_volterra(x, y, K, M):# 构建回归矩阵X（包含所有乘积项x(n-m1)x(n-m2)...）X = construct_volterra_matrix(x, K, M)# 求解最小二乘问题h = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]return h

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5.Volterra模型的简化形式

5.1 对角记忆多项式（常见简化）

仅保留相同延迟项的乘积：
$$y(n)=\sum _{k=1}^K\sum _{m=0}^M{a}_{km}x(n-m)|x(n-m){|}^{k-1}$$
参数复杂度降为$O(K\cdot M)$。

5.2 广义记忆多项式（GMP）

添加交叉记忆项：
$$y(n)=\sum _{k=1}^K\sum _{m=0}^M{a}_{km}x(n-m)|x(n-m){|}^{k-1}+\sum _{k=2}^K\sum _{m=1}^M\sum _{l=1}^L{b}_{kml}x(n)|x(n-m){|}^{k-1}$$

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6. Volterra模型的局限性

1. 参数爆炸：三阶全Volterra模型需$M^3$个参数（$M=3$时需27个系数）。
2. 辨识难度：高阶核需要大量训练数据且对噪声敏感。
3. 实时性挑战：硬件实现时乘加运算量巨大。

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7. 应用案例：5G Massive MIMO功放线性化

7.1 场景特点

• 宽带信号（100MHz+）
• 高峰均比（PAPR > 10dB）
• 多通道耦合效应

7.2 Volterra-DPD效果

指标	无DPD	传统MP-DPD	Volterra-DPD
ACLR (dBc)	-28	-45	-52
EVM (%)	8.7	2.1	1.3
计算复杂度	-	1×	3.5×

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三、常用数学模型

预失真工程中常用的都是Volterra级数的简化模型，是Volterra级数的特殊形式，但是他们在性能损失较小的情况下，大幅度缩减了计算量，有着相当的实际工程价值。

3.1 无记忆多项式模型

$$y(n)=\sum _{k=1}^K{a}_{k}x(n)|x(n){|}^{k-1}$$

• $K$：非线性阶数
• $a_k$：多项式系数

3.2 记忆多项式模型（最常用）

$$y(n)=\sum _{m=0}^M\sum _{k=1}^K{a}_{mk}x(n-m)|x(n-m){|}^{k-1}$$

• $M$：记忆深度
• $K$：非线性阶数

3.3 广义记忆多项式

$$y(n)=\sum _{m=0}^M\sum _{k=1}^K{a}_{mk}x(n-m)|x(n-m){|}^{k-1}+\sum _{m=1}^M\sum _{k=2}^K{b}_{mk}x(n)|x(n-m){|}^{k-1}$$

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四、仿真

python 仿真代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 参数设置
Fs = 100e6       # 采样率
N = 8192         # 信号长度
M = 3            # 记忆深度
K = 5            # 非线性阶数
PA_GAIN = 10     # 放大器增益# 生成输入信号（QPSK调制）
x = np.random.randn(N) + 1j*np.random.randn(N)
x = x/np.max(np.abs(x))  # 归一化# PA非线性模型（Rapp模型）
def power_amplifier(x_in, p=2):return x_in / (1 + (np.abs(x_in)**p))**(1/(2*p))# DPD参数估计（最小二乘法）
def dpd_identification(u, d, M, K):X = np.zeros((len(u)-M, M*K), dtype=complex)for m in range(M):for k in range(K):X[:, m*K + k] = u[M-m-1:-1-m] * np.abs(u[M-m-1:-1-m])**kw = np.linalg.lstsq(X, d[M:], rcond=None)[0]return w# 应用DPD预失真
def apply_dpd(x_in, w, M, K):x_out = np.zeros_like(x_in)for n in range(M, len(x_in)):for m in range(M):for k in range(K):x_out[n] += w[m*K + k] * x_in[n-m] * np.abs(x_in[n-m])**kreturn x_out# 主仿真流程
pa_out = power_amplifier(x * PA_GAIN)          # PA输出
dpd_coeff = dpd_identification(pa_out, x, M, K) # DPD系数估计
x_dpd = apply_dpd(x, dpd_coeff, M, K)          # 应用预失真
pa_dpd_out = power_amplifier(x_dpd * PA_GAIN)  # PA+DPD输出# 频谱分析
def plot_spectrum(signal, title):f = np.fft.fftfreq(len(signal), 1/Fs)idx = np.argsort(f)plt.plot(f[idx]/1e6, 20*np.log10(np.abs(np.fft.fft(signal))[idx]))plt.title(title)plt.xlabel('Frequency (MHz)')plt.ylabel('Power (dB)')plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(211)
plot_spectrum(pa_out, 'Without DPD')
plt.subplot(212)
plot_spectrum(pa_dpd_out, 'With DPD')
plt.tight_layout()
plt.show()

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五、结果分析

1. 频谱对比：应用DPD后带外频谱泄露明显降低
2. ACPR改善：典型改善可达10-15dB
3. EVM提升：误差矢量幅度显著降低

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六、工程实践建议

1. 模型选择：根据PA特性选择记忆深度和非线性阶数
2. 参数辨识：建议使用LS、RLS或神经网络方法
3. 实时更新：需设计自适应算法跟踪PA特性变化

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扩展阅读方向：

• 神经网络DPD
• 基于Volterra级数的模型
• 混合数字模拟预失真技术