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洛谷P2042 [NOI2005] 维护数列

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题目描述

请写一个程序，要求维护一个数列，支持以下 $6$ 种操作：

编号	名称	格式	说明
1	插入	$\mathrm{INSERT}positot{c}_1{c}_2\cdots c_{tot}$	在当前数列的第 $posi$ 个数字后插入 $tot$ 个数字：$c_1,c_2\cdots c_{tot}$；若在数列首插入，则 $posi$ 为 $0$
2	删除	$\mathrm{DELETE}positot$	从当前数列的第 $posi$ 个数字开始连续删除 $tot$ 个数字
3	修改	$MAKE-SAMEpositotc$	从当前数列的第 $posi$ 个数字开始的连续 $tot$ 个数字统一修改为 $c$
4	翻转	$\mathrm{REVERSE}positot$	取出从当前数列的第 $posi$ 个数字开始的 $tot$ 个数字，翻转后放入原来的位置
5	求和	$GET-SUMpositot$	计算从当前数列的第 $posi$ 个数字开始的 $tot$ 个数字的和并输出
6	求最大子列和	$MAX-SUM$	求出当前数列中和最大的一段子列，并输出最大和

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$，$N$ 表示初始时数列中数的个数，$M$ 表示要进行的操作数目。

第二行包含 $N$ 个数字，描述初始时的数列。以下 $M$ 行，每行一条命令，格式参见问题描述中的表格。

输出格式

对于输入数据中的 $GET-SUM$ 和 $MAX-SUM$ 操作，向输出文件依次打印结果，每个答案（数字）占一行。

输入输出样例 #1

输入 #1

9 8 
2 -6 3 5 1 -5 -3 6 3 
GET-SUM 5 4
MAX-SUM
INSERT 8 3 -5 7 2
DELETE 12 1
MAKE-SAME 3 3 2
REVERSE 3 6
GET-SUM 5 4
MAX-SUM

输出 #1

-1
10
1
10

说明/提示

数据规模与约定

• 你可以认为在任何时刻，数列中至少有 $1$ 个数。
• 输入数据一定是正确的，即指定位置的数在数列中一定存在。
• 对于 $50\%$ 的数据，任何时刻数列中最多含有 $3\times 10^4$ 个数。
• 对于 $100\%$ 的数据，任何时刻数列中最多含有 $5\times 10^5$ 个数，任何时刻数列中任何一个数字均在 $[-10^3,10^3]$ 内，$1\le M\le 2\times 10^4$，插入的数字总数不超过 $4\times 10^6$。

题面由 @syksykCCC 提供。

思路详解

确定算法

根据我们的目测，这显然是一个裸数据结构的题，由于他要区间翻转，我们很容易就想到了要使用平衡树，不会区间翻转的可以去看这道题。在这里我采用的是无旋平衡树(FHQ)。下面我将为你相信讲解这道题。

一切的根基

由于我采用的是指针，我们首先要定义好结构体，并做好安全访问的每一个元素的函数，具体如下：

struct lit{int val,sum,pri,siz;
//值，区间和，优先级，大小int pre,suf,sub;
//最大前缀，最大后缀，最大子序列int co,rev;
//染色，翻转的懒标记lit *l,*r;
//左右子节点lit(int v){//构造val=sum=sub=v;//由于要求必须有一个元素，所以sub=v(后面会解释pre与suf)pri=rand();siz=1;pre=suf=max(0,v);co=-0x3f3f3f3f;rev=0;l=r=nullptr;}
};
//............................
int getsum(lit *u){return u?u->sum:0;}//安全访问
int getsize(lit *u){return u?u->siz:0;}
int getsub(lit *u){return u?u->sub:-0x3f3f3f3f;}
int getpre(lit *u){return u?u->pre:0;}
int getsuf(lit *u){return u?u->suf:0;}

打标记，更新与下传

我们要进行两种标记：

1. 区间染色：染色了再翻转就没意义了，我们可以进行一下优化，染色后$sum,pre,sub,suf,val$都要改变，与构造差不多。
2. 区间翻转：翻转首先要交换左右子树，然后，$pre,suf$也要交换。

void mark_co(lit *&u,int v){//区间染色if(!u)return;u->co=v;//更新标记u->sum=u->siz*v;//更新区间和u->val=v;//更新单点的值u->pre=u->suf=max(u->sum,0);//更新pre,suf，同上u->sub=max(v,u->sum);//sub至少一个元素，所以要么只取一个，要么全部取u->rev=0;//不需要翻转了}void mark_rev(lit *&u){//区间翻转if(!u)return;u->rev^=1;//更新标记swap(u->l,u->r);//交换左右子树swap(u->pre,u->suf);//交换pre,suf}

标记下传很简单，依次下传2个标记即可。

void pushdown(lit *&u){if(!u)return ;if(u->co!=-0x3f3f3f3f){//下传染色标记mark_co(u->l,u->co);mark_co(u->r,u->co);u->co=-0x3f3f3f3f;}if(u->rev){//下传翻转标记mark_rev(u->l);mark_rev(u->r);u->rev=0;}}

下面，到了本题比较难的部分了，那就是更新。更新的其他的值都没什么好说的，但我们要思考如何更新$pre,suf,sub$。我会在下面代码中详细讲解：

void pushup(lit *&u){if(!u)return;u->siz=1+getsize(u->l)+getsize(u->r);u->sum=getsum(u->l)+u->val+getsum(u->r);u->pre=max(max(getpre(u->l),getsum(u->l)+u->val+getpre(u->r)),0);
//最大前缀可能包含当前节点，也可能不。
//不包括时为getpre(u->l)，包括时为getsum(u->l)+u->val+getpre(u->r)。u->suf=max(max(getsuf(u->r),getsum(u->r)+u->val+getsuf(u->l)),0);//同上u->sub=max(getsuf(u->l)+getpre(u->r)+u->val,max(getsub(u->l),getsub(u->r)));
//同理sub也可以包括或不包括，不包括时为max(getsub(u->l),getsub(u->r))，包括时为getsuf(u->l)+getpre(u->r)+u->val
}

FHQ核心

FHQ核心只有2个函数，分别为$split$(分裂)与$merge$(合并)。

void split(lit *u,int k,lit *&x,lit *&y){//分类if(!u){x=y=nullptr;return;}pushdown(u);//记得下传！！！int ls=getsize(u->l);if(ls+1<=k){x=u;split(u->r,k-ls-1,x->r,y);pushup(x);}else {y=u;split(u->l,k,x,y->l);pushup(y);}
}
lit *merge(lit *x,lit *y){if(!x)return y;if(!y)return x;pushdown(x);pushdown(y);//记得下传！！！if(x->pri>y->pri){x->r=merge(x->r,y);pushup(x);return x;}else{y->l=merge(x,y->l);pushup(y);return y;}
}

快速建点与删除

为了更好的完成此题，我们还要完成两个操作：

1. 由于他要直接插入一个区间，所以我们要想办法快速生成这个区间，再合并即可。考虑同线段树一样二分处理。这样对$merge$的调用只有$log(n)$次。
2. 为了释放空间，我们要将一个区间彻底删除。

lit *add(int l,int r){//二分建树if(l==r)return new lit(t[l]);//边界int mid=(l+r)/2;return merge(add(l,mid),add(mid+1,r));}void clear(lit *&u){//递归删除if(!u)return ;clear(u->l);clear(u->r);delete u;}

封装

封装好每一个操作，我们的这道题就差不多了。

void insert(int p,int n){//加入一个区间lit *x,*y;split(root,p,x,y);root=merge(merge(x,add(1,n)),y);
}
void remove(int le,int ri){//删除区间[le,ri]lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);if(mid)clear(mid);root=merge(l,r);
}
void change_color(int le,int ri,int v){//区间染色lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);mark_co(mid,v);root=merge(merge(l,mid),r);
}
void change_reverse(int le,int ri){//区间翻转lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);mark_rev(mid);root=merge(merge(l,mid),r);
}
int query_sum(int le,int ri){//求区间和lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);int res=getsum(mid);root=merge(l,merge(mid,r));return res;
}
int query_sub(){//求整个区间的最大子序列return getsub(root); 
}

code

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e6+5,INF=-0x3f3f3f3f;
struct lit{int val,sum,pri,siz;
//值，区间和，优先级，大小int pre,suf,sub;
//最大前缀，最大后缀，最大子序列int co,rev;
//染色，翻转的懒标记lit *l,*r;
//左右子节点lit(int v){//构造val=sum=sub=v;//由于要求必须有一个元素，所以sub=v(后面会解释pre与suf)pri=rand();siz=1;pre=suf=max(0,v);co=-0x3f3f3f3f;rev=0;l=r=nullptr;}
};
int t[N],n,m;
class FHQ_Treap{
private:lit *root;int getsum(lit *u){return u?u->sum:0;}//安全访问int getsize(lit *u){return u?u->siz:0;}int getsub(lit *u){return u?u->sub:-0x3f3f3f3f;}int getpre(lit *u){return u?u->pre:0;}int getsuf(lit *u){return u?u->suf:0;}void mark_co(lit *&u,int v){//区间染色if(!u)return;u->co=v;//更新标记u->sum=u->siz*v;//更新区间和u->val=v;//更新单点的值u->pre=u->suf=max(u->sum,0);//更新pre,suf，同上u->sub=max(v,u->sum);//sub至少一个元素，所以要么只取一个，要么全部取u->rev=0;//不需要翻转了}void mark_rev(lit *&u){//区间翻转if(!u)return;u->rev^=1;//更新标记swap(u->l,u->r);//交换左右子树swap(u->pre,u->suf);//交换pre,suf}void pushdown(lit *&u){if(!u)return ;if(u->co!=-0x3f3f3f3f){//下传染色标记mark_co(u->l,u->co);mark_co(u->r,u->co);u->co=-0x3f3f3f3f;}if(u->rev){//下传翻转标记mark_rev(u->l);mark_rev(u->r);u->rev=0;}}void pushup(lit *&u){if(!u)return;u->siz=1+getsize(u->l)+getsize(u->r);u->sum=getsum(u->l)+u->val+getsum(u->r);u->pre=max(max(getpre(u->l),getsum(u->l)+u->val+getpre(u->r)),0);
//最大前缀可能包含当前节点，也可能不。
//不包括时为getpre(u->l)，包括时为getsum(u->l)+u->val+getpre(u->r)。u->suf=max(max(getsuf(u->r),getsum(u->r)+u->val+getsuf(u->l)),0);//同上u->sub=max(getsuf(u->l)+getpre(u->r)+u->val,max(getsub(u->l),getsub(u->r)));
//同理sub也可以包括或不包括，不包括时为max(getsub(u->l),getsub(u->r))，包括时为getsuf(u->l)+getpre(u->r)+u->val}void split(lit *u,int k,lit *&x,lit *&y){//分类if(!u){x=y=nullptr;return;}pushdown(u);//记得下传！！！int ls=getsize(u->l);if(ls+1<=k){x=u;split(u->r,k-ls-1,x->r,y);pushup(x);}else {y=u;split(u->l,k,x,y->l);pushup(y);}}lit *merge(lit *x,lit *y){if(!x)return y;if(!y)return x;pushdown(x);pushdown(y);//记得下传！！！if(x->pri>y->pri){x->r=merge(x->r,y);pushup(x);return x;}else{y->l=merge(x,y->l);pushup(y);return y;}}lit *add(int l,int r){//二分建树if(l==r)return new lit(t[l]);//边界int mid=(l+r)/2;return merge(add(l,mid),add(mid+1,r));}void clear(lit *&u){//递归删除if(!u)return ;clear(u->l);clear(u->r);delete u;}
public:void insert(int p,int n){//加入一个区间lit *x,*y;split(root,p,x,y);root=merge(merge(x,add(1,n)),y);}void remove(int le,int ri){//删除区间[le,ri]lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);if(mid)clear(mid);root=merge(l,r);}void change_color(int le,int ri,int v){//区间染色lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);mark_co(mid,v);root=merge(merge(l,mid),r);}void change_reverse(int le,int ri){//区间翻转lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);mark_rev(mid);root=merge(merge(l,mid),r);}int query_sum(int le,int ri){//求区间和lit *l,*mid,*r;split(root,ri,mid,r);split(mid,le-1,l,mid);int res=getsum(mid);root=merge(l,merge(mid,r));return res;}int query_sub(){//求整个区间的最大子序列return getsub(root); }
}tr;
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>t[i];tr.insert(0,n);for(int i=1;i<=m;i++){string s;int x,y,z;cin>>s;if(s=="INSERT"){cin>>x>>y;for(int j=1;j<=y;j++)cin>>t[j];tr.insert(x,y);}else if(s=="DELETE"){cin>>x>>y;tr.remove(x,x+y-1);}else if(s=="MAKE-SAME"){cin>>x>>y>>z;tr.change_color(x,x+y-1,z);}else if(s=="REVERSE"){cin>>x>>y;tr.change_reverse(x,x+y-1);}else if(s=="GET-SUM"){cin>>x>>y;cout<<tr.query_sum(x,x+y-1)<<'\n';}else{cout<<tr.query_sub()<<'\n';}}return 0;
}