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哈夫曼树

哈夫曼树的定义

• 路径：从一个结点到另一个结点的路线
• 树的路径长度：从树根到树中每个结点的路径长度之和
• 结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数
• 结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点权值的乘积
• 树的带权路径长度WPL：树中所有叶子结点的带权路径长度之和$$\text{WPL}=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$
• 其中，w是叶子结点的权值，n是叶子结点的个数，l是叶子结点到根的路径长度.
• 带权路径长度最小的二叉树称为最优二叉树.

哈夫曼树的构造

• 有n棵权值分别为w₁, w₂, …, wₙ的二叉树所组成的集合，这些二叉树的左右子树都为空
• 从集合中选取出权值最小的两棵二叉树构成一棵新的二叉树。为了保证新树仍是二叉树，需要增加一个新结点作为新二叉树的根，将所选的两棵子树作为其根结点的左右子树，并将其两个子树的权值之和作为其根的权值。从集合中删除已经选中的二叉树，将新生成的树加入集合中参与下一轮选择
• 重复上一步操作，直至集合中剩下最后一棵二叉树，这棵二叉树便是哈夫曼树
• 哈夫曼树的构造过程
  
• 上述哈夫曼树的WPL值情况：$$WPL=5\times 2+1\times 3+4\times 3+7\times 2+9\times 2=57$$

哈夫曼编码

• 一般地，设需要编码的字符集为{a₁, a₂, a₃, …, aₙ}，各个字符出现的频率为{w₁, w₂, …, wₙ}。规定左分支为0，右分支为1，则从根结点到叶子结点经过的分支所组成的0和1字符串便是对应字符的编码，这就是哈夫曼编码。
• 示意图
  

哈夫曼树的实现

class Node(object):def __init__(self, weight):# 结点的权值self.weight = weightself.left = Noneself.right = None# 是否新构造根结点，新构造的结点不进行WPL计算self.isNew = Falsedef __gt__(self, other):"""用于对结点之间的排序"""return self.weight > other.weightclass huffmanTree(object):def __init__(self, nodeList):self.WPL = 0self.root = self.createHuffmanTree(nodeList)def createHuffmanTree(self, nodeList):"""创建哈夫曼树:param nodeList: 森林中的单个结点构成的二叉树:return:"""# 如果当前森林中二叉树棵树大于1while len(nodeList) > 1:# 森林中的二叉树进行排序nodeList.sort()# 获取根结点最小的二叉树left = nodeList.__getitem__(0)# 获取根结点次小的二叉树right = nodeList.__getitem__(1)# 构造新结点newNode = Node(left.weight + right.weight)newNode.isNew = True# 将新结点的左孩子结点指针指向left结点newNode.left = left# 将新结点的右孩子结点指针指向right结点newNode.right = right# 从森林中删除已选择的二叉树nodeList.pop(0)nodeList.pop(0)# 将新构造的二叉树加入森林中nodeList.append(newNode)return nodeList.__getitem__(0)def calculate_WPL(self, node, level):"""计算哈夫曼树的wpl:param node: 根结点:param level: 层数:return:"""if node != None:if not node.isNew:self.WPL += node.weight * levelself.calculate_WPL(node.left, level+1)self.calculate_WPL(node.right, level+1)if __name__ == "__main__":print('PyCharm')nodeList = []nodeList.append(Node(1))nodeList.append(Node(7))nodeList.append(Node(4))nodeList.append(Node(5))nodeList.append(Node(9))hufftree = huffmanTree(nodeList)hufftree.calculate_WPL(hufftree.root, 0)print("哈夫曼树的WPL：", hufftree.WPL)

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