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问题描述
一年级一班有 n 个小朋友坐成一排，统计了这些小朋友的爱好后，老师得知了他们一共有 m 种爱好，每个小朋友会拥有这些爱好中的一种。
如果相邻的小朋友爱好相同，那么他们上课时就会忍不住悄悄说话，违反课堂纪律。
老师想知道，一种有多少种状态可能发生违法记录的现象。
答案对 100003取模。
输入格式
输入包括两个整数 m,n含义见上文。
输出格式
输出一个整数，代表模 100003 的意义下共有多少种可能的答案。
样例输入
2 3
样例输出
6分析问题：
总排列数：
-
每个小朋友有
m种选择，n个小朋友的总排列数为：
不发生违法记录的排列数：
-
如果没有任何相邻小朋友的爱好相同，那么：
-
第一个小朋友有
m种选择。 -
第二个小朋友不能和第一个相同，有
m-1种选择。 -
第三个小朋友不能和第二个相同，有
m-1种选择。 -
以此类推，后面的每个小朋友都有
m-1种选择。
-
-
因此，不发生违法记录的排列数为：
发生违法记录的排列数：
-
发生违法记录的状态数 = 总排列数 - 不发生违法记录的排列数。
解题代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p = 100003; // 定义快速幂函数qmi(a, n)，用于计算a的n次方模p
ll qmi(ll a, ll n) {ll res = 1; // 初始化结果为1while (n > 0) { // 当n大于0时循环if (n & 1) { // 如果n的最低位是1res = (res * a) % p; // 将res乘以a并取模p}a = (a * a) % p; // 将a自乘并取模pn >>= 1; // 将n右移一位，相当于n除以2}return res; // 返回计算结果
}int main() {ll m, n; cin >> m >> n; // 计算所有可能的排列数zong，即m的n次方模pll zong = qmi(m, n) % p;// 计算不发生违法记录的排列数buweifa，即m乘以(m-1)的(n-1)次方模p// 第一个小朋友有m种选择，后面的每个小朋友有(m-1)种选择（不能和前一个小朋友的爱好相同）ll buweifa = m * qmi(m - 1, n - 1) % p;// 计算发生违法记录的排列数ans，即总排列数减去不发生违法记录的排列数ll ans = zong - buweifa;// 如果ans为负数，则加上p以保证结果为正数if (ans < 0) {ans += p;}// 输出最终结果，即ans模pcout << ans % p;return 0; // 程序正常结束
}
代码说明：
1. 为什么 ll zong = qmi(m, n) % p 和 ll buweifa = m * qmi(m - 1, n - 1) % p 要模上 p？
原因：
-
qmi函数内部已经取模：确实，qmi函数在计算过程中会对每一步的结果取模p，因此qmi(m, n)的结果已经是m^n % p。 -
额外的取模是为了防止溢出：
-
在计算
buweifa = m * qmi(m - 1, n - 1)时，qmi(m - 1, n - 1)的结果可能已经接近p（最大为p-1）。 -
如果
m也很大，那么m * qmi(m - 1, n - 1)的结果可能会超过long long的范围，导致溢出。 -
因此，在乘法操作后再次取模
p，可以确保结果不会溢出，同时保持结果的正确性。
-
总结：
-
qmi函数内部的取模是为了保证幂运算的结果不溢出。 -
外部的取模是为了防止乘法操作后的结果溢出。
2. 为什么最后判断大小后不能直接输出 ans，而是输出 ans % p？
原因：
-
ans的计算可能为负数：-
ans = zong - buweifa，如果zong < buweifa，那么ans会是负数。 -
在模运算中，负数的结果需要调整为正数，因此代码中通过
if (ans < 0) ans += p;来保证ans是非负数。
-
-
输出
ans % p是为了确保结果在模数范围内：-
即使
ans已经是非负数，它仍然可能大于p（例如，如果zong和buweifa都接近p，ans可能接近2p）。 -
输出
ans % p可以确保结果始终在[0, p-1]的范围内，符合题目的要求。
-
总结：
-
判断大小后调整
ans是为了处理负数情况。 -
输出
ans % p是为了确保结果在模数范围内，避免结果超出[0, p-1]。