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第2章 賦范向量空間

1.向量空間；哈默爾基；向量空間的維數

- 定義與性質

- 向量空間的定義：設\mathbb{K}為數域，集合X是\mathbb{K}上的向量空間，若在X上定義了加法(x,y)\in X\times X\to x + y\in X和數乘(\alpha,x)\in\mathbb{K}\times X\to\alpha x\in X兩種運算，且滿足加法交換律、結合律，存在零向量，向量的負向量存在，數乘分配律等性質，則稱X是向量空間。

- 哈默爾基的定義：設X\neq\{0\}是向量空間，哈默爾基是一族向量(e_i)_{i\in I}，它滿足線性獨立性（即任何有限子集線性組合為零向量時，係數都為零）和生成性（即X中的任何向量都可以表示為該基向量的有限線性組合）。

- 維數的定義：向量空間的維數是其哈默爾基的基數，如果向量空間有有限維的哈默爾基，則稱為有限維向量空間，否則稱為無限維向量空間。

1. 哈默爾基的線性獨立性

若(e_i)_{i\in I}是向量空間X\neq\{0\}的哈默爾基，對於任意有限子集\{i_1,i_2,\cdots,i_n\}\subseteq I，若\sum_{j = 1}^{n}\alpha_j e_{i_j}=0，則\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n = 0。

2. 哈默爾基的生成性

對於向量空間X\neq\{0\}的哈默爾基(e_i)_{i\in I}，任意x\in X，都存在有限子集\{i_1,i_2,\cdots,i_n\}\subseteq I以及\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K}，使得x=\sum_{j = 1}^{n}\alpha_j e_{i_j}。

2.賦范向量空間；基本性質和例子；商空間

- 賦范向量空間的定義

- 定義：賦范向量空間是一對(X,\|\cdot\|)，其中X是向量空間，\|\cdot\|是從X到\mathbb{R}的映射，滿足正定性（\|x\|\geq0，\|x\| = 0當且僅當x = 0）、齊次性（\|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|）和三角不等式（\|x + y\|\leq\|x\|+\|y\|）。

- 範數與距離：賦范向量空間(X,\|\cdot\|)中的範數可以定義距離d(x,y)=\|x - y\|，x,y\in X。從而賦予向量空間一個度量結構。

- 基本性質

- 線性運算的連續性：向量加法和數乘運算關於範數是連續的，即如果(x_n)和(y_n)是X中的序列，分別收斂到x和y，則x_n + y_n收斂到x + y，\alpha x_n收斂到\alpha x。

- 範數的性質

- 不等式性質：|\|x\|-\|y\||\leq\|x - y\|，\left\|\sum_{i = 1}^{n}x_i\right\|\leq\sum_{i = 1}^{n}\|x_i\|。

- 等價性：兩個範數\|\cdot\|和\|\cdot\|'是等價的，如果它們在X上定義的拓撲結構相同，即存在常數c和C'使得\|x\|\leq C'\|x\|且\|x\|\leq C'\|x\|對於所有x\in X。

- 例子

- 有限維向量空間的範數：有限維向量空間上的任何範數都與歐氏範數等價，例如\|\cdot\|_p範數（1\leq p\leq\infty），其中\|x\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|（x=\sum_{i = 1}^{n}x_ie_i是x在某一基下的表示），\|x\|_p=\left(\sum_{i = 1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}（1\leq p<\infty）。

- 函數空間的範數

- C(K;Y)空間：設K是緊拓撲空間，(Y,\|\cdot\|)是賦范向量空間，C(K;Y)是所有從K到Y的連續函數構成的向量空間，範數\|f\|=\sup_{x\in K}\|f(x)\|。

- \ell^p空間：

- 當1\leq p<\infty時，對於x=(x_i)_{i = 1}^{\infty}\in\ell^p，\|x\|_p=\left(\sum_{i = 1}^{\infty}|x_i|^p\right)^{1/p}。

- 當p=\infty時，對於x=(x_i)_{i = 1}^{\infty}\in\ell^p，\|x\|_{\infty}=\sup_{i\geq1}|x_i|。

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