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图论基础入门

图论（Graph Theory）是计算机科学中的核心基础之一，被广泛应用于算法设计、工程系统、人工智能、编译器、网络通信、地图导航等多个方向。

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一、什么是图（Graph）

图是一种由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的数据结构，用于表示元素之间的关系。

分类：

• 有向图（Directed Graph）：边具有方向，如 A → B。
• 无向图（Undirected Graph）：边无方向，A 与 B 相互连接。
• 带权图（Weighted Graph）：边携带权重信息。
• 稀疏图 / 稠密图：根据边的数量与顶点的比例判断。

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二、图的存储结构（C++ 实现）

1. 邻接表（Adjacency List）

适用于稀疏图，节省空间。

int n; // 顶点数量
vector<vector<int>> adj(n); // 无权图的邻接表// 添加一条有向边 u → v
adj[u].push_back(v);

带权图：

vector<vector<pair<int, int>>> adj(n); // pair<邻接点, 权重>adj[u].emplace_back(v, weight);

2. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）

适用于稠密图，占用空间大但查询更快。

vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(n, 0));
matrix[u][v] = 1; // 表示 u → v 有边

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三、图的遍历

1. 深度优先搜索（DFS）

void dfs(int u, vector<vector<int>>& adj, vector<bool>& visited) {visited[u] = true;for (int v : adj[u]) {if (!visited[v]) {dfs(v, adj, visited);}}
}

2. 广度优先搜索（BFS）

void bfs(int start, vector<vector<int>>& adj, vector<bool>& visited) {queue<int> q;visited[start] = true;q.push(start);while (!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();for (int v : adj[u]) {if (!visited[v]) {visited[v] = true;q.push(v);}}}
}

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四、经典图算法（C++ 实现）

1. 拓扑排序（Topological Sort）——仅适用于有向无环图（DAG）

Kahn 算法（基于入度）

bool topoSort(int n, const vector<vector<int>>& adj, vector<int>& result) {vector<int> inDegree(n, 0);for (const auto& neighbors : adj)for (int v : neighbors) inDegree[v]++;
图论基础入门queue<int> q;for (int i = 0; i < n; ++i)if (inDegree[i] == 0) q.push(i);while (!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();result.push_back(u);for (int v : adj[u])if (--inDegree[v] == 0) q.push(v);}return result.size() == n; // false 表示有环
}

2. 最短路径算法

Dijkstra（适用于正权图）

vector<int> dijkstra(int n, int start, const vector<vector<pair<int, int>>>& adj) {vector<int> dist(n, INT_MAX);priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> pq;dist[start] = 0;pq.emplace(0, start);while (!pq.empty()) {auto [d, u] = pq.top(); pq.pop();if (d > dist[u]) continue;for (auto [v, w] : adj[u]) {if (dist[u] + w < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + w;pq.emplace(dist[v], v);}}}return dist;
}

3. 并查集（Union-Find）——用于连通性判断、Kruskal 算法

struct UnionFind {vector<int> parent;UnionFind(int n) : parent(n) {iota(parent.begin(), parent.end(), 0);}int find(int x) {return parent[x] == x ? x : (parent[x] = find(parent[x]));}bool unite(int a, int b) {int pa = find(a), pb = find(b);if (pa == pb) return false;parent[pa] = pb;return true;}
};

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五、应用场景

• 编译依赖分析：如 Makefile 中的文件依赖。
• 项目构建系统：如 CMake 中的模块拓扑。
• 图数据库遍历：如 Neo4j 查询路径。
• 地图导航系统：如最短路径搜索（Dijkstra、A*）。
• 社交网络分析：好友推荐、社群划分。
• 多线程任务调度系统：拓扑排序 + 优先级控制。