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📊 算法效率的“两面性”：时间与空间复杂度全解析

1️⃣ 如何衡量算法好坏？

举个栗子🌰：斐波那契数列的递归实现

public static long Fib(int N) {if(N < 3) return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

问题：这个算法像“树懒”一样慢！为什么？
答案：因为它重复计算了大量子问题，时间复杂度高达O(2^N)！

直观感受：为什么递归这么慢？
试算Fib(5)的执行过程：

Fib(5)
├── Fib(4)
│   ├── Fib(3)
│   │   ├── Fib(2)
│   │   └── Fib(1)
│   └── Fib(2)
└── Fib(3)├── Fib(2)└── Fib(1)
惊人发现：Fib(3)被计算了2次Fib(2)被计算了3次当N=20时，Fib(1)会被计算6765次！

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2️⃣ 时间复杂度：算法的“速度表”⏱️

📌 核心思想

• 基本操作次数决定算法速度
• 大O表示法：抓主要矛盾（最高阶项）

🧮 大O三定律

1. 常数变1：F(N)=2N+10 → O(N)
2. 只留最高阶：O(N² + N) → O(N²)
3. 去除系数：O(2N) → O(N)

🌟 经典例题分析

代码示例	执行次数	时间复杂度	类比
双重循环	N² + 2N +10	O(N²)	全班同学两两握手🤝
单循环+固定循环	2N + 10	O(N)	点名签到📝
二分查找	log₂N	O(logN)	对折纸找名字📜
斐波那契递归	2^N	O(2^N)	细胞分裂爆炸增长💥

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3️⃣ 空间复杂度：算法的“储物柜”🗄️

📌 核心思想

• 临时变量数量决定内存占用
• 递归深度=空间复杂度

🧮 冒泡排序的空间复杂度分析：为什么是O(1)？

## 🔍 冒泡排序
```java
void bubbleSort(int[] array) {for (int end = array.length; end > 0; end--) {boolean sorted = true;                  // 变量1for (int i = 1; i < end; i++) {if (array[i - 1] > array[i]) {Swap(array, i - 1, i);         // 临时变量在Swap内sorted = false;                // 修改变量1}}if (sorted == true) break;}
}

🧳 实例对比

变量名	类型	数量	生命周期	是否随输入规模变化
end	int	1	外层循环	❌ 固定4字节
sorted	boolean	1	每次外层循环	❌ 固定1字节
i	int	1	内层循环	❌ 固定4字节
Swap	临时变量 int	1	交换瞬间	❌ 固定4字节

💡 关键结论

1. 固定数量变量：无论输入数组多大（N=100或N=1,000,000），都只使用：

   - 3个基本类型变量（end/sorted/i）- 1个交换用的临时变量
   

2. 不依赖输入规模：变量数量与数组长度array.length完全无关

3. 原地排序算法：直接在原数组上操作，不需要额外存储空间

🆚 对比其他排序算法

算法类型	空间复杂度	内存使用特点
冒泡排序	O(1)	只用固定几个变量🔘
斐波那契数组	O(N)	需要N长度的数组📊
阶乘递归	O(N)	递归调用N层栈帧📚

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4️⃣复杂度权衡的艺术

• 时间换空间：比如用哈希表加速查询
• 空间换时间：比如动态规划存储中间结果

💡 现代编程箴言：
在内存充足的今天，我们更关注时间复杂度优化，
但处理海量数据时，空间复杂度依然关键！

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📚 课后小测验

1. 下列哪个时间复杂度最快？
   A. O(N!)
   B. O(N²)
   C. O(log(N))
   D. O(2^N)

2. 递归计算阶乘时，空间复杂度为什么是O(N)？

（答案：C 因为要保存N层递归调用栈）

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🎯 总结

复杂度分析就像给算法做“体检”：

• 时间复杂度=心肺功能（跑得快不快）
• 空间复杂度=胃容量（吃得多不多）