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第 3 篇：揭秘时间模式 - 时间序列分解

在上一篇中，我们学会了如何加载、可视化时间序列数据，并了解了时间序列可能包含趋势 (Trend)、季节性 (Seasonality)、周期性 (Cyclicality) 和随机性 (Residual) 这些基本成分。但仅仅是“知道”还不够，我们希望能更深入地“看透”数据，把这些成分明确地分离出来。

这就是时间序列分解 (Time Series Decomposition) 的目标：将原始时间序列拆解成其内在的组成部分。这就像给时间序列做 CT 扫描，帮助我们：

• 更深入地理解数据驱动力： 长期增长是主要因素，还是季节性波动更显著？
• 为建模做准备： 某些模型（如 ARIMA 的一些变种）可能需要先去除趋势或季节性成分。分解后的成分本身也可以作为模型的特征。
• 改进预测： 分别预测趋势和季节性，然后组合起来，有时能得到更好的结果。

分解模型：加法 vs. 乘法

如何将这些成分组合起来得到原始序列？主要有两种基本模型：

1. 加法模型 (Additive Model):

   • 公式： Y(t) = Trend(t) + Seasonal(t) + Residual(t)
   • 含义： 假设季节性成分的幅度是相对恒定的，不随时间趋势的变化而变化。它只是在趋势的基础上进行加减。
   • 适用场景： 季节性波动的大小不依赖于时间序列的水平。例如，某商店每天固定在午餐时间多卖出约 50 份快餐，无论当天总销量是 200 份还是 500 份。
   • 图形特点： 在时间序列图上，季节性波动的“摆动幅度”看起来大致相同。

2. 乘法模型 (Multiplicative Model):

   • 公式： Y(t) = Trend(t) * Seasonal(t) * Residual(t)
   • 含义： 假设季节性成分的幅度与趋势成比例变化。季节性可以看作是趋势的一个百分比。
   • 适用场景： 季节性波动的大小随着时间序列水平的升高而增大（或随降低而减小）。例如，航空乘客数量，在整体乘客量较低的年份，旺季和淡季的差距可能只有几千人；但在乘客量高的年份，这个差距可能达到数万人。
   • 图形特点： 在时间序列图上，季节性波动的“摆动幅度”随着趋势的上升而变宽，随着趋势的下降而变窄。
   • 小技巧： 对乘法模型取对数 (log)，可以将其转换为加法模型：log(Y(t)) ≈ log(Trend(t)) + log(Seasonal(t)) + log(Residual(t))。这在某些分析中很有用。

如何选择？

• 观察图形： 这是最直观的方法。看季节性波动的幅度是恒定的（倾向于加法）还是随趋势变化的（倾向于乘法）。
• 经验判断： 某些类型的数据（如大多数经济指标、销售额）通常更符合乘法模型。
• 尝试与比较： 如果不确定，可以两种模型都尝试，看哪个分解结果的残差项更接近随机噪声。

如何进行分解？ statsmodels 来帮忙

Python 的 statsmodels 库提供了一个非常方便的函数来进行经典的时间序列分解：seasonal_decompose。

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
import statsmodels.api as sm # 用于加载示例数据
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 设置全局绘图参数 (可选)
plt.rcParams.update({'figure.figsize': (10, 8)})
sns.set_style("whitegrid")# 1. 加载示例数据 (经典的 CO2 浓度数据)
# 这个数据集有明显的趋势和季节性，适合演示
data = sm.datasets.co2.load_pandas().data# 2. 数据预处理
# CO2 数据是周度数据，可能有缺失值，且频率不完全固定
# 我们将其重采样为月度数据 (取均值)，并填充缺失值
data['co2'].interpolate(inplace=True) # 线性插值填充 NaN
monthly_data = data.resample('M').mean() # 按月重采样print("月度 CO2 数据概览:")
print(monthly_data.head())# 3. 进行分解
# 观察 CO2 浓度图 (你可以先画一下 monthly_data['co2'].plot())
# 会发现季节性波动随着整体趋势上升而略有增大，因此选择乘法模型更合适
# 季节性周期为 12 (月度数据，年度季节性)
decomposition_result = seasonal_decompose(monthly_data['co2'], model='multiplicative', period=12)# 4. 可视化分解结果
print("\n正在绘制分解图...")
fig = decomposition_result.plot()
plt.suptitle('Time Series Decomposition of Monthly CO2 Data (Multiplicative Model)', y=1.02) # 添加总标题
plt.tight_layout()
plt.show()# 我们可以单独访问每个成分
trend_component = decomposition_result.trend
seasonal_component = decomposition_result.seasonal
residual_component = decomposition_result.residprint("\n分解得到的趋势成分 (前几行):")
print(trend_component.head())
print("\n分解得到的季节性成分 (前几行):")
print(seasonal_component.head())
print("\n分解得到的残差成分 (前几行):")
print(residual_component.head())

代码解释：

1. 加载数据: 我们使用了 statsmodels 自带的 datasets.co2 数据集。
2. 预处理:
   • interpolate(): 填充数据中的缺失值（NaN），这里使用简单的线性插值。
   • resample('M').mean(): 将数据从原始频率（可能是周度）转换为月度频率，计算每个月的平均 CO2 浓度。这使得我们有一个固定的频率，便于设定 period。
3. seasonal_decompose:
   • 第一个参数是你要分解的时间序列（monthly_data['co2']）。
   • model='multiplicative': 指定使用乘法模型。如果你的数据更像加法，就用 model='additive'。
   • period=12: 这是非常重要的参数！它指定了季节性的周期长度。因为我们是月度数据，并且 CO2 浓度有明显的年度季节性，所以周期是 12 个月。如果是日数据且有周季节性，period 就应设为 7。
4. decomposition_result.plot(): 这个方法直接绘制出分解的四个部分。

解读分解结果图

seasonal_decompose 生成的图通常包含四个子图：

1. Observed (原始数据): 就是我们输入的 monthly_data['co2']。
2. Trend (趋势成分): 显示了数据的长期平滑走向。注意，在序列的开始和结束部分，趋势线可能无法计算出来（显示为灰色或缺失），这是经典分解方法（基于移动平均）的一个局限性。对于 CO2 数据，我们可以看到一个明显的长期上升趋势。
3. Seasonal (季节性成分): 显示了固定的季节性波动模式。对于乘法模型，这个值通常在 1 附近波动；对于加法模型，在 0 附近波动。你应该能看到一个每年重复的模式（对应 period=12）。对于 CO2 数据，每年都有一个峰值和一个谷值。
4. Residual (残差成分): 这是从原始数据中移除趋势和季节性成分后剩下的部分 Residual = Observed / (Trend * Seasonal) (乘法) 或 Residual = Observed - Trend - Seasonal (加法)。理想情况下，残差应该看起来像随机噪声，没有明显的模式。如果残差中还存在明显的模式，可能意味着分解模型选择不当，或者数据中还包含其他未被捕捉的结构（如周期性成分或异常事件）。

讨论与局限性

• seasonal_decompose 是一种比较基础的分解方法，它主要基于移动平均来估计趋势和季节性。
• 端点问题: 如上所述，由于移动平均的计算方式，序列两端的数据点可能无法很好地估计出趋势和季节性成分（结果可能是 NaN）。
• 季节性假设: 它假设季节性模式是固定不变的。如果季节性模式随时间演变，这种方法可能效果不佳。
• 对异常值敏感: 移动平均对数据中的极端值（异常点）比较敏感。

尽管有这些局限性，seasonal_decompose 对于快速理解数据结构、检查趋势和季节性模式仍然是一个非常有用的入门工具。更高级的分解方法包括 STL (Seasonal and Trend decomposition using Loess)、X-13-ARIMA-SEATS 等，但它们超出了我们入门系列的范围。

小结

今天，我们深入了解了时间序列分解：

• 知道了分解的目标是将序列拆分为趋势、季节性和残差。
• 学习了加法和乘法两种分解模型，以及如何根据数据特点选择。
• 掌握了使用 Python statsmodels.tsa.seasonal_decompose 函数进行实际分解操作，并理解了 model 和 period 参数的重要性。
• 学会了解读分解结果图，从趋势、季节性和残差图中获取信息。
• 了解了经典分解方法的一些局限性。

下一篇预告

通过分解，我们能清晰地看到序列中的趋势和季节性。然而，很多经典的时间序列模型（比如后面可能会接触的 ARIMA）都要求数据是平稳 (Stationary) 的——简单来说，就是数据的统计特性（如均值、方差）不随时间改变。而带有明显趋势或季节性的序列通常是非平稳的。

那么，什么是平稳性？为什么它如此重要？如何判断一个序列是否平稳？如果它不平稳，我们又该如何处理呢？下一篇，我们将探讨时间序列分析的基石——平稳性。

敬请期待！

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（分解 CO2 数据时，你选择了乘法模型。如果尝试用加法模型，结果图会有什么不同？欢迎在评论区分享你的发现！）