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wzjs 2025/8/14 3:49:33

网站免费在线客服系统,合肥网络推广软件系统,建筑公司网址,中国物流网官网快速幂算法讲解快速幂算法是一种高效计算幂运算的算法，其核心思想是利用指数的二进制分解，把幂运算的时间复杂度从 O(p) 降低到 O(logp)。原理假设要计算 an，将 n 表示成二进制形式：n2k12k2⋯2km，那么 ana…

快速幂算法讲解

快速幂算法是一种高效计算幂运算的算法，其核心思想是利用指数的二进制分解，把幂运算的时间复杂度从 O(p) 降低到 O(logp)。

原理

假设要计算 an，将 n 表示成二进制形式：n=2k1+2k2+⋯+2km，那么 an=a2k1+2k2+⋯+2km=a2k1×a2k2×⋯×a2km。

例如，计算 ${3^{13}}$ ，13 的二进制是 1101，即 13= $2^{3}$ + $2^{2}$ + $2^{0}$ ，那么 $3^{13}$ = $2^{3}$ × $2^{2}$ × $2^{0}$ 。

代码

#include <iostream>
using namespace std;long long fast_pow(long long a, long long b, long long k) {long long result = 1;while (b > 0) {if (b % 2 == 1) {result = (result * a) % k;}a = (a * a) % k;b /= 2;}return result;
}int main() {long long b, p, k;cin >> b >> p >> k;cout << fast_pow(b, p, k) << endl;return 0;
}

我们以计算 (3 ^ 13) % 10 为例，对修正后的 C++ 代码进行一步一步的分析。

分析过程

初始化

在 fast_pow 函数开始时，有如下初始化操作：

a = 3（底数）
b = 13（指数）
k = 10（模数）
result = 1

第一次循环

判断 b 是否为奇数：b = 13，13 % 2 == 1，满足条件。所以执行 result = (result * a) % k，即 result = (1 * 3) % 10 = 3。
更新 a：a = (a * a) % k，也就是 a = (3 * 3) % 10 = 9。
更新 b：b /= 2，b 变为 6。

此时各变量的值为：

a = 9
b = 6
k = 10
result = 3

第二次循环

判断 b 是否为奇数：b = 6，6 % 2 == 0，不满足条件，不更新 result。
更新 a：a = (a * a) % k，即 a = (9 * 9) % 10 = 81 % 10 = 1。
更新 b：b /= 2，b 变为 3。

此时各变量的值为：

a = 1
b = 3
k = 10
result = 3

第三次循环

判断 b 是否为奇数：b = 3，3 % 2 == 1，满足条件。执行 result = (result * a) % k，即 result = (3 * 1) % 10 = 3。
更新 a：a = (a * a) % k，也就是 a = (1 * 1) % 10 = 1。
更新 b：b /= 2，b 变为 1。

此时各变量的值为：

a = 1
b = 1
k = 10
result = 3

第四次循环

判断 b 是否为奇数：b = 1，1 % 2 == 1，满足条件。执行 result = (result * a) % k，即 result = (3 * 1) % 10 = 3。
更新 a：a = (a * a) % k，也就是 a = (1 * 1) % 10 = 1。
更新 b：b /= 2，b 变为 0。