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点 O O O 是 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外心, P P P 是边 B C BC BC 上一点, 点 Q Q Q 满足 O Q ⊥ P Q OQ \bot PQ OQ⊥PQ. 点 D D D 和 E E E 分别在 △ B P Q \triangle BPQ △BPQ和 △ C P Q \triangle CPQ △CPQ 的外接圆上 ( D , E ≠ P D,E \neq P D,E=P), 且使得 P D ∥ A C PD\parallel AC PD∥AC, P E ∥ A B PE\parallel AB PE∥AB. 求证: ∠ A D B = ∠ A E C \angle A D B = \angle AEC ∠ADB=∠AEC .
(《高中数学联赛模拟试题精选》第19套)
证明:
设 ( P B Q ) (PBQ) (PBQ) 交 ( A B C ) (ABC) (ABC) 于 B B B, I I I 两点. 延长 I P IP IP 交 ( A B C ) (ABC) (ABC) 于点 J J J.
显然 ∠ P I B = ∠ B Q P = ∠ P C J \angle PIB=\angle BQP=\angle PCJ ∠PIB=∠BQP=∠PCJ, 设 α = ∠ P I B \alpha=\angle PIB α=∠PIB.
∠ O Q B = π 2 − α = π − 2 α 2 = π − ∠ B O J 2 = ∠ O J B \angle OQB=\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\pi-2\alpha}{2}=\frac{\pi-\angle BOJ}{2}=\angle OJB ∠OQB=2π−α=2π−2α=2π−∠BOJ=∠OJB, 所以 O O O, Q Q Q, J J J, B B B 四点共圆.
∠ B Q J = ∠ B O J = 2 α \angle BQJ=\angle BOJ=2\alpha ∠BQJ=∠BOJ=2α.
∠ P Q J = ∠ B Q J − ∠ B Q P = α = ∠ P C J \angle PQJ=\angle BQJ-\angle BQP=\alpha=\angle PCJ ∠PQJ=∠BQJ−∠BQP=α=∠PCJ, 所以 Q Q Q, P P P, J J J, C C C 四点共圆.
∠ I D P = π − ∠ I B C = ∠ I A C \angle IDP=\pi-\angle IBC=\angle IAC ∠IDP=π−∠IBC=∠IAC, 结合 P D / / A C PD//AC PD//AC 可知 I D / / I A ID//IA ID//IA, 进而 I I I, D D D, A A A 共线.
∠ J E P = ∠ B C J = ∠ J A B \angle JEP=\angle BCJ=\angle JAB ∠JEP=∠BCJ=∠JAB, 结合 P E / / A B PE//AB PE//AB 可知 J E / / J A JE//JA JE//JA, 进而 J J J, E E E, A A A 共线.
∠ I D B = ∠ I P B = ∠ J P C = ∠ J E C \angle IDB=\angle IPB=\angle JPC=\angle JEC ∠IDB=∠IPB=∠JPC=∠JEC, 进而可知 ∠ A D B = ∠ A E C \angle ADB = \angle AEC ∠ADB=∠AEC.
证毕.