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一、LSTM基础理论：超越传统RNN的记忆架构

1.1 RNN的长期依赖问题

传统循环神经网络(RNN)在处理长序列时面临的根本挑战是梯度消失/爆炸问题。当序列长度超过10-20个时间步时，RNN难以学习到早期时间步的信息。数学上，这源于反向传播过程中梯度的链式法则：

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∂L/∂h_t = ∂L/∂h_T * (∏_{k=t}^{T-1} ∂h_{k+1}/∂h_k)

其中，雅可比矩阵∂h_{k+1}/∂h_k的反复乘积导致梯度呈指数级衰减或增长。

1.2 LSTM的核心创新：门控机制

LSTM通过引入三个精密的门控结构解决了上述问题：

1. 遗忘门(Forget Gate)：控制上一时刻细胞状态的保留比例

   f_t = σ(W_f·[h_{t-1}, x_t] + b_f)

2. 输入门(Input Gate)：控制新信息的写入比例

   i_t = σ(W_i·[h_{t-1}, x_t] + b_i)
   C̃_t = tanh(W_C·[h_{t-1}, x_t] + b_C)

3. 输出门(Output Gate)：控制细胞状态的输出比例<