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wzjs 2025/7/21 5:52:44

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蓝桥杯 Java B 组 - 第七天：周总结与模拟题练习

Day 7：周总结与模拟题练习

在这一周的学习中，我们已经接触了动态规划的基本概念和常见应用。今天，我们将通过刷一些蓝桥杯的模拟题，来熟悉并巩固所学的知识，特别是动态规划的问题。

一、模拟题：Fibonacci数列求余

题目描述：

给定正整数 n，求斐波那契数列的第 n 项，并计算其对一个数 m 的余数。即：

f(n)f(n) % m

例如：

输入 n=10，m=100
输出：f(10) % 100 的结果。

解题思路：

斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递归问题，其递推关系是：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n) = f(n-1) + f(n-2)

其中，f(0) = 0，f(1) = 1。

需要注意的是，题目要求计算 f(n) % m，而不直接求 f(n)。所以在计算每个斐波那契数时，我们可以提前取余，这样可以防止数值过大，避免溢出。

代码实现：

public class FibonacciModulo {// 求斐波那契数列第n项对m取余public static int fibonacciModulo(int n, int m) {if (n == 0) return 0;  // f(0) = 0if (n == 1) return 1;  // f(1) = 1int first = 0;  // f(0) = 0int second = 1; // f(1) = 1int result = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {// 计算下一项，先对m取余，防止结果溢出result = (first + second) % m;first = second;second = result;}return result;}public static void main(String[] args) {int n = 10;  // 第10项int m = 100; // 对100取余System.out.println(fibonacciModulo(n, m));  // 输出结果}}

解释：

核心思想：每次计算当前斐波那契数时，都取其与 m 的余数，以防止数字过大。
时间复杂度：O(n)，因为我们从第 2 项开始依次计算到第 n 项。
空间复杂度：O(1)，仅使用了常数的额外空间。

二、模拟题：数字三角形

题目描述：

给定一个数字三角形，要求从三角形的顶部到达底部的路径，使得路径上的数字和最大。每次可以从当前数字向下一行的两个相邻数字之一移动，求最大路径和。

例如：

7 4

2 4 6

8 5 9 3

从顶部的 3 开始，可以选择路径 3 -> 7 -> 4 -> 6 -> 9，路径和为 29。

解题思路：

这个问题可以用动态规划（DP）来解决：

从底部开始，逐步向上计算每一层的最大路径和。
对于每一个数字，它的路径和等于它本身的值加上下面两行相邻数字的最大路径和。

状态转移方程：

对于三角形中任意位置 (i, j)，其路径和为：

dp(i,j)=max(dp(i+1,j),dp(i+1,j+1))+triangle(i,j)dp(i, j) = max(dp(i+1, j), dp(i+1, j+1)) + triangle(i, j)

其中 dp(i, j) 表示从位置 (i, j) 到达底部的最大路径和。

代码实现：

public class TrianglePathSum {public static int maximumTotal(int[][] triangle) {int n = triangle.length;  // 获取三角形的高度// 从倒数第二行开始向上计算for (int row = n - 2; row >= 0; row--) {  for (int col = 0; col <= row; col++) {// 状态转移：当前元素加上其下面两个元素中的最大者triangle[row][col] += Math.max(triangle[row + 1][col], triangle[row + 1][col + 1]);}}// 返回三角形顶点的最大路径和return triangle[0][0];}public static void main(String[] args) {int[][] triangle = {{3},{7, 4},{2, 4, 6},{8, 5, 9, 3}};System.out.println(maximumTotal(triangle));  // 输出最大路径和}}