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前言

现在做一下例题和练习题。矩阵的秩和线性相关。另外还要复盘前面高数的部分的内容。奥，之前矩阵的例题和练习题，也没有做完，行列式的例题和练习题也没有做完。累加起来了。以后还是得学一个知识点就做一个部分的内容，日拱一卒，慢慢来。

向量例题

目前能做的就是四个题。把四个题学清楚了也不算亏。

3.1

这个貌似感性理解上还行，具体写出来还是有点懵逼了。这个好像是可以非常严格地写出来过程的，就是代来代去的，反证法，假设可以，然后推出矛盾，这个题估计还得多刷几次，这题太妙了。但是感性理解非常简单，感性理解就是，$\beta$ 可以用 1-m 的向量表示，那么就可以列一个等式，移项之后肯定也是可以用 1-m-1 和 $\beta$ 来表示 m, 但是假设没有 $\beta$ ，少了 $\beta$ 就不行啊。实际上看到这一层就可以选出答案了，参考答案可能写的稍微复杂了，写得比较学术。

background music

金玟岐聊 18 岁，回听青春，总能挖到冰山下的痕迹。

“也许没有，谁知道呢”

3.2

这个 B 选项明显错了，定义是说，存在不全为零的系数使得向量的和为零。只是存在，不是任意。这题就是看考生对于线性相关和线性无关的理解，线性相关是内部的向量之间有关系，线性无关是内部的向量之间没有关系。

3.3

小部分线性无关，整体可能是线性相关的。所以 1 是错的。因为后面的向量可能可以用前面的向量线性表示出来。

2 是对的。因为我们说一个向量组是线性无关的，就是说这个向量组里面的向量都是没有啥关系的。

3 是错的。整个向量组是线性相关的，但是局部可能没啥关系，比如说， 1 和 2 可以表示 3，然后 1 和 2 可以是线性无关的啊。

4 是对的。反过来看，假设一个向量都没有，可以用剩下的向量表示出来，那么为什么可以说这个向量组线性相关呢。向量组线性相关表示的就是，里面的向量多少有点关系。

3.4

大的线性无关，小的线性无关。这个是啥意思呢，就是说，一整个学校的人都没有任何关系，那么一个班级的同学也没有关系。

假设小的线性相关，那么大的也是线性相关的。只要有关系就是线性相关。

这个理解为，就是小的线性无关，那么假设其他部分有关系呢，那么整体来看还是线性相关的。也就是说，小的线性无关，整体是否线性无关是不确定的，要看剩下的部分的情况。还要看剩下的部分和这个小的部分的情况。

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应该是选 C ,感觉充分条件就是说，给了这个条件，假设称这个条件为 A ，那么可以说 A 蕴涵 xxx ，说的比较装了，实际上就是说可以推出 xxx,均不为零向量，肯定不行。比如说，配一个负的系数，很容易就可以让线性组合的结果是零，那就是线性相关了。

不成比例也没用。可以是两个向量的和是第三个向量。这样也算向量之间有关系。那也是线性相关了。

部分线性无关也不可以。因为剩下的部分说不定线性相关呢，或者剩下的部分说不定和这个部分有关系呢，假设有关系就是线性相关了，部分线性相关，整体就是线性相关了。

目标选项选的就是，每个向量都没啥关系。

解析举的例子，例子没啥意思，我还是喜欢我这样感性分析一下，感觉非常透彻。