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1. 什么是并查集？

并查集（Union-Find） 是一种用于管理 不相交集合（Disjoint Sets） 的数据结构，主要支持以下两种操作：

• Find(u)：查找元素 u 所属的集合（通常返回其根节点）。
• Union(u, v)：合并两个元素 u 和 v 所在的集合。

并查集广泛应用于：

• 图的连通性问题（如Kruskal算法求最小生成树）。
• 动态连通性问题（如社交网络中的好友关系）。
• 游戏开发（如像素连通性检测）。

2. 并查集的实现

（1）基本实现

初始时，每个元素独立构成一个集合，用数组 parent[] 存储父节点：

vector<int> parent(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i; // 初始化，每个节点的父节点是自己
}

• Find(u)（路径压缩优化）：

  int find(int u) {if (parent[u] != u) {parent[u] = find(parent[u]); // 路径压缩}return parent[u];
  }
  

• Union(u, v)（按秩合并优化）：

  vector<int> rank(n, 0); // 记录树的深度
  bool unionSets(int u, int v) {int rootU = find(u);int rootV = find(v);if (rootU == rootV) return false; // 已经在同一集合if (rank[rootU] > rank[rootV]) {parent[rootV] = rootU; // 小树合并到大树} else if (rank[rootU] < rank[rootV]) {parent[rootU] = rootV;} else {parent[rootV] = rootU;rank[rootU]++; // 深度相同，合并后深度+1}return true;
  }
  

（2）优化策略

优化方法	作用	时间复杂度
路径压缩（Path Compression）	使 Find 操作接近 $O(1)$	$O(\alpha (n))$
按秩合并（Union by Rank）	避免树过高，保持平衡	$O(\alpha (n))$

其中，α(n) 是 反阿克曼函数，增长极其缓慢，可以认为是常数时间。

3. 并查集的应用

（1）检测无向图的环

bool hasCycle(vector<vector<int>>& edges, int n) {UnionFind uf(n);for (auto& edge : edges) {int u = edge[0], v = edge[1];if (!uf.unionSets(u, v)) {return true; // 已经连通，说明有环}}return false;
}

（2）Kruskal算法求最小生成树（MST）

⭐算法OJ⭐连接所有点的最小费用【最小生成树】（C++实现）Min Cost to Connect All Points

int kruskalMST(vector<vector<int>>& edges, int n) {sort(edges.begin(), edges.end()); // 按权重排序UnionFind uf(n);int res = 0;for (auto& edge : edges) {int cost = edge[0], u = edge[1], v = edge[2];if (uf.unionSets(u, v)) {res += cost;}}return res;
}

（3）朋友圈问题

int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {int n = isConnected.size();UnionFind uf(n);for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (isConnected[i][j]) {uf.unionSets(i, j);}}}int circles = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {if (uf.find(i) == i) circles++; // 统计根节点数量}return circles;
}

4. 并查集的复杂度分析

操作	无优化	路径压缩	路径压缩 + 按秩合并
Find	$O(n)$	$O(\alpha (n))$	$O(\alpha (n))$
Union	$O(n)$	$O(\alpha (n))$	$O(\alpha (n))$

其中，$\alpha (n)$ 是 反阿克曼函数（Inverse Ackermann Function），在大多数实际应用中接近于 $O(1)$。

可以认为：$\alpha (n)$ 是 “阿克曼函数需要递归多少次才能超过 n”。由于阿克曼函数增长极快，$\alpha (n)$ 几乎不会超过 5（在现实计算中）

5. 总结

并查集 是一种高效管理 不相交集合 的数据结构。

• 路径压缩 + 按秩合并 可以使其接近 $O(1)$ 时间。
• 典型应用：检测环、最小生成树、动态连通性问题。