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题解：最短网络（最小生成树问题）
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一、题目描述
农夫约翰需要将所有农场用光纤连接起来，形成一个网络。给定各农场之间的连接距离矩阵，要求找出连接所有农场并使光纤总长度最短的方案。
二、题目分析
这是一个典型的最小生成树（MST）问题。我们需要在给定的带权无向图中，找出一棵包含所有顶点的生成树，并且使得树上所有边的权值之和最小。
三、解题思路
使用Prim算法来解决最小生成树问题：
- 从任意一个顶点开始（这里选择1号农场）
- 每次选择距离当前生成树最近的顶点加入树中
- 更新其他顶点到生成树的距离
- 重复直到所有顶点都加入生成树
四、算法讲解（Prim算法）
以样例输入为例：
4
0 4 9 21
4 0 8 17
9 8 0 16
21 17 16 0
算法执行过程：
- 初始选择1号农场，距离集合{1}最近的农场是2号（距离4）
- 加入2号后，距离集合{1,2}最近的农场是3号（距离8）
- 加入3号后，距离集合{1,2,3}最近的农场是4号（距离16）
- 总长度=4+8+16=28
五、代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 110;
int n;
int g[N][N]; // 邻接矩阵存储图
int st[N]; // 标记顶点是否已在生成树中
int dist[N]; // 存储各顶点到生成树的最小距离int prim()
{int res = 0; // 存储最小生成树的总权值memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化距离为无穷大dist[1] = 0; // 从1号农场开始for (int i = 1; i <= n; i ++) // 每次循环加入一个顶点{int t = -1;// 找出距离当前生成树最近的一个顶点tfor (int j = 1; j <= n; j ++){if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))t = j;}res += dist[t]; // 累加边权st[t] = 1; // 标记t已加入生成树// 更新其他顶点到生成树的距离for (int j = 1; j <= n; j ++)dist[j] = min(g[t][j], dist[j]);}return res;
}void solve()
{memset(g, 0x3f, sizeof g); // 初始化图cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)cin >> g[i][j];int ans = prim();cout << ans;
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}
六、重点细节
- 初始化：距离数组dist初始化为无穷大，表示初始时所有顶点都不可达
- 顶点选择：每次选择距离当前生成树最近的未加入顶点（t）
- 距离更新：当新顶点t加入后，更新其他顶点到生成树的距离（取最小值）
- 对称矩阵：题目保证输入是对称矩阵，即g[i][j] = g[j][i]
七、复杂度分析
- 时间复杂度：O(n²)，因为外层循环n次，内层有两个n次循环
- 空间复杂度：O(n²)，用于存储邻接矩阵
八、总结
本题是典型的最小生成树问题，使用Prim算法可以高效解决。算法核心思想是"贪心"，每次选择当前最优的边加入生成树。对于稠密图（边数接近完全图），Prim算法（尤其是这种邻接矩阵实现）是一个不错的选择。