wordpress文章自动加载搜索引擎优化的工具

约瑟夫环

题目描述

nn 个人的编号是 1 ~ nn，如果他们依编号按顺时针排成一个圆圈，从编号是 1 的人开始顺时针报数。

（报数是从 1 报起）当报到 kk 的时候，这个人就退出游戏圈。下一个人重新从 1 开始报数。

求最后剩下的人的编号。这就是著名的约瑟夫环问题。

本题目就是已知 n，kn，k 的情况下，求最后剩下的人的编号。

输入描述

输入是一行，2 个空格分开的整数 n,k (0<n,k<107)n,k (0<n,k<107)。

输出描述

要求输出一个整数，表示最后剩下的人的编号。

输入输出样例

示例

输入

10 3

输出

4

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 2020  |  总提交次数: 2706  |  通过率: 74.6%

难度: 中等   标签: 2018, 规律, 思维, 国赛, 递归

方法思路

为了解决约瑟夫环问题，我们可以使用递推公式来避免模拟过程的高时间复杂度（O(n*k)）。递推公式基于以下思路：

1. 问题转化：将人的编号从0到n-1（最后结果再加1转回1到n），这样便于数学处理。

2. 递推关系：设f(n, k)表示n个人报数到k时最后剩下的人的编号（0到n-1）。当n=1时，f(1, k) = 0。对于n>1，有递推公式：f(n, k) = (f(n-1, k) + k) % n。

3. 递推过程：从i=2开始到n，依次计算f(i, k) = (f(i-1, k) + k) % i。这样避免了递归或模拟的高开销。

4. 结果转换：最终结果f(n, k) + 1即为原始编号（1到n）

   #include <iostream>
   using namespace std;int main() {int n, k;cin >> n >> k;int ans = 0; // 初始化n=1时的结果（编号0）for (int i = 2; i <= n; i++) {ans = (ans + k) % i; // 递推公式}cout << ans + 1 << endl; // 将编号转回1~nreturn 0;
   }

   代码解释

5. 输入处理：读取两个整数n（总人数）和k（报数到k出圈）。

6. 初始化：ans初始化为0，表示当n=1时剩下的人的编号（0）。

7. 递推计算：循环从2到n，每次更新ans为(ans + k) % i：

   • ans：上一轮（i-1人）的存活编号。

   • (ans + k) % i：当前i人时，存活编号的递推计算。

8. 结果转换：最终ans是0到n-1编号下的结果，加1后转换为1到n的编号输出。